第二章 信号描述及其分析
【2-1】 描述周期信号的频率结构可采用什么数学工具? 如何进行描述? 周期信号是否可以
进行傅里叶变换? 为什么?
参考答案：一般采用傅里叶级数展开式。根据具体情况可选择采用傅里叶级数三角函数展开式和傅里叶级数复指数函数展开式两种形式。不考虑周期信号的奇偶性,周期信号通过傅里叶级数三角函数展开可表示为:
x(t)?a0??Ansin(n?0??n)n?1?(n?1,2,3,)
1a0?TAn?2?T2?T2x(t)dt
2T22T2(an???T2x(t)cosn?0tdt bn???T2x(t)sinn?0tdt )
TT
an?bn2tan?n?bnan
式中，T为信号周期, ?0为信号角频率, ?0
?2?T。
An??图为信号的幅频图, ?n??图为信号的相频图。
周期信号通过傅里叶级数复指数函数展开式可表示为:
?x(t)?n???jn?0tCe?nT2(n?0,?1,?2,)
1Cn?T??T2x(t)e?jn?0tdtCn是一个复数,可表示为:
Cn?CnR?jCnI?Cnej?n
Cn?CnR2?CnI2 ?n?arctanCnICnR
Cn??图为信号的幅频图, ?n??图称为信号的相频图。
▲ 不可直接进行傅里叶变换,因为周期信号不具备绝对可积条件。但可间接进行傅里叶变换。参见书中第25页“正弦和余弦信号的频谱”。
【2-2】 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。
参考答案：由非周期信号的傅里叶变换，X(?)?????x(t)e?j?tdt，得
1
X(?)??x(t)e0??j?tAa?j?dt??A2a?j?a??2
由此得到，幅频谱为：X(?)?
A 22a??相频谱为： ?(?)??arctan(?a)
?T2?t?0
0?t?T2【2-3】 求周期三角波（图2-5a）的傅里叶级数（复指数函数形式）
?A?(2AT)t参考答案：周期三角波为： x(t)???A?(2AT)t
则
1T2Cn??x(t)e?jn?0tdt
T?T24ATA(1?cosn?)?(1?cosn?) 022222n?0T2n?
积分得 Cn?
?2A(n?)2即 Cn???0n??1,?3,?5,n?0,?2,?4,
又因为周期三角波为偶函数，则bn??0，所以?n?arctanCnICnR?0
所以，周期三角波傅里叶级数复指数形式展开式为：
?2Ajn?0tj(2k?1)?0tx(t)??Cne?e(k?0,?1,?2)
22?(2k?1)?n???n???
【2-4】 求图2-15所示有限长余弦信号x(t)的频谱。 设 参考答案：
方法一
??cos?0tx(t)????0t?Tt?T
X(?)??cos?0te
1j?0t(e?e?j?0t)e?j?tdt?T?T2sin(?0??)Tsin(?0??)T?? ?0???0??T?j?tdt??T?T[sinc(?0??)T?sinc(?0??)T]方法二：对于上面所给的有限长余弦信号x(t)，其实也就是用一个窗宽为2T的窗函数把无限长的余弦信号截断所得到的，即把无限长余弦信号x(t)与窗函数相乘，此时所需的窗函数为：
2
?1t?Tw(t)??。由傅里叶变换的性质可知，时域内相乘，对应在频域内相卷积，即
t?T0?x(t)w(t)?X(f)?W(f)。已知，余弦信号的傅里叶变换是?函数，由?函数的性质，X(f)?W(f)意味着把W(f)的图像搬移到X(f)图像的位置。
【2-5】当模拟信号转化为数字信号时遇到那些问题？应该怎样解决？
参考答案：遇到的问题：1）采样间隔与频率混叠；2）采样长度与频率分辨率；3）量化与量化误差；4）频谱泄漏与窗函数。 参见课本第26～29页。
第三章 测试系统的基本特性
【3-1】 测试装置的静态特性指标主要有哪那些？它们对装置性能有何影响？
参考答案：主要有：线性度，灵敏度，和回程误差。线性度主要影响系统的测试精度，灵敏度主要影响系统的分辨力，而回程误差主要引起系统的滞后误差。
【3-2】 什么叫一阶系统和二阶系统？它们的传递函数，频率响应函数以及幅频和相频表达
式是什么？
参考答案：
（1）能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。其传递函数为：
H(s)?Y(s)S? S为系统灵敏度 X(s)?s?1Sj???1
相频特性：?(?)??arctan(??)
频率响应函数为：H(j?)?
幅频特性：A(?)?H(j?)?S1?(??)2（2）能够用用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。 其传递函数为：
?n2Y(s)?2 H(s)?X(s)s?2??ns??n2
?n2 频率响应函数为：H(j?)?
(j?)2?2??n(j?)??n2
幅频特性：A(?)?
H(j?)?1[1?(??n)]?4?(??n)?? ?3
222
?2?(??n)相频特性为：?(?)??arctan?21?(??)n?【3-3】 求周期信号x(t)?0.5cos(10t)?0.2cos(100t?45)通过传递函数为H(s)?的装置后得到的稳态响应？
10.005s?1参考答案： 信号x(t)可分解为两个信号x1(t)?0.5cos(10t)和x2(t)?0.2cos(100t?45)。分别求出这两个信号通过装置的响应，再相加，就是信号x(t)的响应。
x1(t)的角频率?1?10，而??0.005，则
A1(?)?121?(?? 1)?0.998
?1(?)??arctan(??1)??2.86
x2(t)的角频率?2?100，同理得
A2(?)?11?(?2?)2?0.894 ?1(?)??arctan(?2?)??26.5
所以信号x(t)经过一阶装置的稳态响应为：
y(t)?0.499cos(10t?2.86)?0.179cos(100t?71.5)
【3-4】 一气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，并以5m/s的上升速度通过大气
层。设温度随所处的高度按每升高30m下降0.150C的规律变化，气球温度和高度的数据用无线电传回地面。在3000m处所记录的温度为?20C。试问实际出现?20C的真实高度是多少？ 参考答案：设实际出现?20C的真实高度为h,则温度计的输入为
0.150Cx(t)??2C?t?x(t)??2?0.025t
30m5ms020.025L[x(t)]?X(s)???2
ss1已知一阶温度计的传递函数 H(s)?，故有
?s?10.0252?0.025?0.025?2?) Y(s)?X(s)H(s)??(2?ss?s?1
0.0252?0.025?0.025?2?2??1?1L[Y(s)]??{L[2]?L[]?L[]}ss?s?1??{0.025t?(2?0.025?)?(0.025??2)e?t?}取拉氏逆变换 ??1.625(1?e?t?)?0.025t?1?1当t?2?，
y(t)??2.1550C，t?1.9?y(t)??2.09440C，t?1.8?y(t)??2.03130C。
?4?，此题温度计调整时间Ts?60s，则在?20C时，
设实际出现?20C的真实高度为h，从输入到稳态输出需要一定的过渡时间，一般响应已
达到稳态值的98%以上，调整时间Ts气球的真实高度H=3000-（60*5）=2700米。
4
