十字相乘法分解因式
1．二次三项式 （1）多项式ax?bx?c，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．
例如：x?2x?3和x?5x?6都是关于x的二次三项式．
（2）在多项式x2?6xy?8y2中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式2ab?7ab?3中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1的二次三项式x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b) 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)
对
于
二
次
项
系
数
不
是
1
的
二
次
三
项
式
22222ax2?bx?c?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2) 它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 二、典型例题 例1 把下列各式分解因式：
22(1)x?2x?15； (2)x?5xy?6y．
2
例2 把下列各式分解因式：
(1)2x?5x?3； (2)3x?8x?3．
例3 把下列各式分解因式：
(1)
(2)7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)；
(3)(a2?8a)2?22(a2?8a)?120．
例4 分解因式：(x2?2x?3)(x2?2x?24)?90．
例5 分解因式6x?5x?38x?5x?6．
例6 分解因式x?2xy?y?5x?5y?6．
例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
例8、已知x?6x?x?12有一个因式是x?ax?4，求a值和这个多项式的其他因式．
42222x4?10x2?9；
43222
试一试： 把下列各式分解因式：
(1)2x2?15x?7 (2) 3a2?8a?4 (3) 5x2?7x?6 (4) 6y2?11y?10
(5) 5a2b2?23ab?10 (6) 3a2b2?17abxy?10x2y2 (7) x2?7xy?12y2
(8) x4?7x2?18 (9) 4m2?8mn?3n2 (10) 5x5?15x3y?20xy2
课后练习 一、选择题
1．如果x2?px?q?(x?a)(x?b)，那么p等于 ( )
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)
2．如果x?(a?b)?x?5b?x?x?30，则b为 ( )
22A．5 B．－6 C．－5 D．6
3．多项式x?3x?a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( ) A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )
A．
22x2?x?2 B．3x2?10x2?3x
2C．
4x2?x?2
D．5x?6xy?8y
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( )
A．2(x?y)?13(x?y)?20 B．(2x?2y)?13(x?y)?20 C．2(x?y)?13(x?y)?20 D．2(x?y)?9(x?y)?20 6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 ( )
①x?7x?6； ②3x?2x?1； ③x?5x?6；
2222222
④4x?5x?9； ⑤15x?23x?8； ⑥x?11x?12 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题
7．x?3x?10?__________．
8．m?5m?6?(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________． 9．2x?5x?3?(x－3)(__________)． 10．x?____?2y2?(x－y)(__________)． 11．a?222422222na?(_____)?(____?____)2． m212．当k＝______时，多项式3x?7x?k有一个因式为(__________)． 13．若x－y＝6，xy?173223，则代数式xy?2xy?xy的值为__________． 36三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)
x4?7x2?6； (2)
x4?5x2?36；
(3)4x4?65x2y2?16y4；
(4)
6a6?7a3b3?8b64224； (5)
6a4?5a3?4a2；
(6)4a?37ab?9ab．
15．把下列各式分解因式：
(1)(x?3)?4x； (2)x(x?2)?9； (3)(3x?2x?1)?(2x?3x?3)；
(4)
222222222(x2?x)2?17(x2?x)?602 (5)
(x2?2x)2?7(x2?2x)?8
(6)(2a?b)?14(2a?b)?48．
16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，x3?y3?26，求a的值．
