习 题八
8.1某油品公司的桶装润滑油标定重量为10千克。商品检验部门从市场上随机抽取10
桶，称得它们的重量(单位：千克)分别是10.2,9.7,10.1,10.3,10.1,9.8,9.9,10.4,10.3,9.8. 假设每桶油实际重量服从正态分布.试在显著性水平??0.01下，检验该公司的桶装润滑油重量是否确为10千克，试给出检验的p值的计算公式.
解：问题归结为检验如下假设 H0:??10?H1:??10 此处n=10，??0.01，S=0.246.tn?1?Sn?????3.25，于是拒绝域为 ?2? X??0?3.25??3.25?0.24610?0.253
而X??0?10.06?10?0.06?0.253，所以我们接受原假设，即桶装润滑油重量确为10千克。可以算得，该检验的P值为
?X??010.06?10?? P?S/n0.246/10??????0.5 ??P?Tn?1?0.771??8.2假设香烟中尼古丁含量服从正态分布，现从某牌香烟中随机抽取20支，其尼古丁含量的平均值X?18.6毫克，样本标准差S=2.4毫克，取显著性水平??0.01，我们能否接受“该种香烟的尼古丁含量的均值??18毫克” 的断言 ?
解：问题归结为检验如下假设 H0:??18?H1:??18 此处n=20，??0.01，S=2.4.tn?1?Sn?????2.86，于是拒绝域为 ?2? |X??0|?2.9??2.86?2.420?1.53
而|X??0|?18.6?18?0.6?1.53，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值??18毫克”的断言.
8.3(1)考虑正态总体N(?,?)和假设检验问题 H0:???0?H1:???0
2证明:当?2已知时，则拒绝域为 X??0??nZ?
的检验的显著性水平为?。 若?2未知 则拒绝域为 X??0??ntn?1(?)
的检验的显著性水平为?.
(2)在习题8.2中， 对??2.4毫克和S=2.4毫克两种情况，我们能否接受“该牌的香烟尼古丁含量不超过17.5毫克”的断言?
证明：(1)取显著水平?>0，对于正态总体N(?,?2)和假设检验问题 H0:???0?H1:???0
因H0中的均值?都比H1中的?小，所以从直观上看，较合理的检验法则应当是：若观察值X与?0的差过分大，即X??0>c时，我们拒绝接受H0.采用与书中类似的讨论，可以推出
c?于是拒绝域为 X??0??nZ?
?nZ?
类似地，当?2未知 则拒绝域为 X??0??ntn?1(?).
(2) 第1种情况，??2.4，问题归结为检验如下假设
H0:??18?H1:??17.5
此处n=20，??0.01，??2.4.Z??2.33，于是拒绝域为 X??0??Z?n?2.4?2.3320?1.25
而X??0?18.6?17.5?1.1?1.25，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼
古丁含量的均值??17.5毫克”的断言.
第2种情况，S=2.4，问题归结为检验如下假设
H0:??18?H1:??17.5
此处n=20，??0.01，S=2.4.tn?1?2.33，于是拒绝域为 X??0?Sntn?1(?)?2.420?2.53?1.36
而X??0?18.6?1.75?1.1?1.36，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值??17.5毫克”的断言.
8.4 设某厂生产的产品尺寸服从正态分布N(?,?2)，规定标准尺寸为120毫米，现从该厂抽得5件产品 测量其尺寸分别为
119,120,119.2,119.7,119.6
试判断产品是否符合规定要求,即检验假设H0:??120?H1:??120(显著性水平
?=0.05).
解：问题归结为检验如下假设
H0:??120?H1:??120
此处n=5，??0.05，经计S?0.4.查表tn?1(0.025)?2.78，于是拒绝域为 |X??0|?Sntn?1(?)?20.45?2.78?0.497
而样本观察值X?119.5，|X??0|?|119.5?120|?0.5?0.497，所以我们不接受原假设，即可判断产品不符合规定要求.
8.5设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉率分别为N(?1,7.5)和N(?2,2.6)为检验这两个煤矿的煤含煤粉率有无明显差异，从两矿中取样若干份，测试结果如下：
甲矿 ：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙矿 ：18.2,16.9,20.2,16.7
试在显著性水平?=0.05下，检验“含煤粉率无差异” 这个假设。
解：问题归结为检验如下假设
H0:?1??2?H1:?1??2
22此处?1?7.5，m?5；?2?2.6，m?4，查表得Z?/2?1.96，在显著性水平?=0.05
下的拒绝域为
X?Y?Z?/2?1m2??2n2?1.96?7.55?2.64?2.87
经计算样本观察值X?21.5，Y?18，X?Y?21.5?18?3.5?2.87，因此我们不接受原假设，即可判断这两个煤矿的煤含煤粉率有明显差异，甲矿的煤含煤粉率高于乙矿的煤含煤粉率。
8.6比较A、B两种小麦品种蛋白质含量，随机抽取A种小麦10个样品，测得X?14.3，测得Y?11.7,S2=0.14,假定这两种小麦蛋白质含量S1=1.62.随机抽取B种小麦5个样品，
都服从正态分布，且具有相同方差，试在??0.01水平下，检验两种小麦的蛋白质含量有无差异。
解：问题归结为检验如下假设
H0:?1??2?H1:?1??2
22此处已知?12??22未知；S12=1.62，S22=0.14， S2?(m?1)S1?(n?1)S2m?n?222?9?1.62?4?0.1410?5?2?1.16
查表得tm?n?2(0.005)?3.01，在显著性水平?=0.01下的拒绝域为
m?nmn X?Y?Stm?n?2(?2)?10?510?5?1.16?3.01?1.78
样本观察值X?Y?14.3?11.7?2.6?1.78，因此我们不接受原假设，即可判断A种小麦的蛋白质含量高于B种小麦的蛋白质含量。
8.7由于存在声音反射的原因，人们在讲英语时在辅音识别上会遇到麻烦。有人随机选取了10个以英语为母语的人(记为A组)和10个以英语为外国语的人(记为B组)，进行了试验，下面记录了他们正确反应的比例(%). A组：93,85,89,81,88,88,89,85,85,87, B组：76,84,78,73,78,76,70,82,79,77.
假定这些数据都来自正态总体，且具有公共方差，试在?=0.05下，检验这两组的反应是否有显著差异？
解：问题归结为检验如下假设
H0:?1??2?H1:?1??2
此处已知?1??2未知；经计算S1?3.23，S2?4.03，
2222222 S?(m?1)S1?(n?1)S2m?n?222?9?3.23?9?4.0310?10?222?13.3
