图6 飞轮的应力场 图7 飞轮的位移场
图6可知，最大应力为35.7mpa，位于飞轮小圆角附近。最大节点位移为0.334e-4m,位于飞轮外缘。由于螺栓处轴线全约束，飞轮旋转产生离心力，远离轴线和靠近轴线的飞轮的质心有一定距离，所以产生力矩，导致变形，同时引起小圆角附近应力最大。
3.3.2三维模型的动态有限元分析
（1）单元类型
1/8实体模型我们选用8节点SOLID45号单元。因为实体模型体积较大，所以网络划分后节点数不能太多，否则会增加后面的计算量和时间。
（2）网格划分
采用ANSYS提供的扫掠网格划分功能，通过扫掠一个面上的网格将一个已有的体离散为三维六面体单元。但在实体建模阶段，我们应将1/8实体模型划分为5个部分，如图8所示，使其符合扫掠网格划分的条件，单元尺寸定为0.004m。
图8三维模型应力图 图9 三维模型网格划分及边界条件
（3）边界条件
约束：飞轮由螺栓孔和法兰盘相连。在1/8三维实体模型中，因为在边界上要施加对称边界约束，所以我们在螺栓孔只约束其轴向位移，如图9所示。
载荷：施加角速度载荷。
（4）应力场和位移场的计算结果
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飞轮应力场和位移场的计算结果如图，最大应力在图10中螺栓孔处，最大位移在位移图11中红色区域。
图10 应力图 图11 位移图
3.3.3 结果比较
两种方案最大应力、位移、转动惯量和体积见表2两种方案的结果比较： 方案一 方案二 SMAX(M) U-SUM(m) UX99m0 IYY(kgm立方) VOLUM(M立方) 35.68 58.97 3.34E-3 100E-5 3.32E-3 0.93-5 0.586 0.534 3.483E-03 3.428E-03 表2 最大应力、位移、转动惯量和体积比较结果
由表中数据可知，三维实体模型中最大应力较大，且出现在螺栓孔边缘。这是因为约束直接施加在螺栓孔面上造成的。轴对称模型与实体模型的最大位移位置相同，但轴对称模型的最大位移U-SUM和径向位移UX略大，说明考虑螺栓孔和凹槽后离心力所减少；两种模型转动惯量和体积也略有不同，这同样是由于三维模型开有螺栓孔和凹槽造成的。
利用ANSYS提供的APDL语言编程实现的参数化建模得到实体模型，参数化尺寸改变后，模型形状会随之改变，有限元网络也会随实体改变而改变，同时计算结果也会立刻呈现出来。这种动态有限元分析可以用于实时、动态地飞轮设计进行评价，是结构优化的基础。
3.4飞轮的动态优化
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图12 ANSYS软件完成优化设计的过程。
基于有限元法的优化是将有限元分析方法与传统的优化技术结合，并应用于结构优化设计中，使结构在满足给定的性能要求条件下，尺寸最佳。图12是利用ANSYS软件完成优化设计的过程。 3.4.1 方案一的优化设计
选取飞轮的总体积为目标函数。由于飞轮的转动惯量是十分重要的设计参数，它不能低于同类发动机参考的转动惯量值；同时飞轮不能发生强度、刚度方面的破坏，所以从分析结果中提取转动惯量IYY、最大应力SMAX、径向最大位移值UX作为优化设计的状态量，选参考飞轮相应分析结果作为状态的约束，飞轮设计变量取值范围及优化结果如表3所示。
设计变量 设计变量 设计变量 设计变量 设计变量 状态变量 状态变量 优化变量 Minmun Maximum 优化结果 参考值 B1 H1 H2 R1 R2 IYY SMAX 0.065 0.010 H2 0.003 0.010 0.509 3.5E-7 0.085 H2 0.040 0.010 0.020 0.600 4.5E-7 0.071 0.0165 0.31 0.006 0.014 0.510 0.069 0.16 0.030 0.006 0.0135 0.509 变化量 2.89% -6.25% 3.33% 0 3.75% 0.20% 4.04E+7 4.31E+7 -0.62% - 15 -
目标函数 目标函数 UX 1.0E-05 0.97E-05 0.9E-05 7.69% 3.1E-03 3.1E-03 -1.24% 表3 方案一变量取值范围及优化结果
由表3中数据，设计变量优化结果与同类型发动机的参考尺寸相比，变化量小，结果接近；三个状态变量中只有UX较参考值大，但仍在状态变量许可的范围类；优化后飞轮的体积略小于参考飞轮。因此，二维轴对称模型的动态优化设计的结果是令人满意的。 3.4.2 方案二的优化设计
在三维参数化建模与有限元分析的基础上，仍选取飞轮的总体积为目标函数，状态变量的选取与轴对称模型也相同，在设计变量中增加反映飞轮减重槽的尺寸参数H3，R3，L3.飞轮设计变量的取值范围及优化结果如表4所示。 设计变量 设计变量 设计变量 设计变量 设计变量 设计变量 设计变量 状态变量 状态变量 目标函数 目标函数 优化变量 Minmun Maximum 优化结果 参考值 B1 H1 H2 R1 R2 H3 R3 IYY SMAX UX 0.065 0.010 H 0.003 0.010 0.004 0.010 0.509 3.5E-7 0.09 H 0.040 0.010 0.020 0.012 0.020 0.600 4.5E-7 0.073 0.014 0.31 0.006 0.014 0.0075 0.015 0.510 0.069 0.16 0.030 0.006 0.0135 0.007 0.016 0.509 变化量 5.8% -12.55% 3.33% 0 3.75% 7.14% -6.25% 0.20% 4.04E+7 4.31E+7 -0.62% 7.69% 1.0E-05 0.97E-05 0.9E-05 3.1E-03 3.1E-03 -1.24% 表4 方案二变量取值范围及优化结果
由表4中数据，设计变量优化结果与同类型发动机飞轮的参考尺寸相比，有一定的改变；三个状态变量的值都高于参考值，且均在状态变量许可的范围内；优化后飞轮的体积小于参考飞轮。由于方案二中参数化地构造了飞轮凹槽，可见，方案二的动态优化设计的结果更接近最佳。由于实体模型单元节点数较多，且增加了3个设计变量，因此优化循环计算量最大，耗费机时长，在迭代次数、步长及变量容差得选取等方面应予以注意。此外，通过将方案二的优化结果与方案一的对比可以看出飞轮的基本设计变量如B1，H1，H,R1和R2的变化并不大，可以
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