(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sin x)＋
(2)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为 A．[－1,1] 5
C．[－，1]
4
1cos x－的定义域为________．
2
( )
5
B．[－，－1]
45
D．[－1，] 4
π
答案 (1){x|2kπ 3sin x>0，?? 解析 (1)要使函数有意义必须有? 1 ??cos x－2≥0，sin x>0，2kπ 即?解得?π(k∈Z)， 1π cos x≥，－＋2kπ≤x≤＋2kπ??23??3π ∴2kπ 3 π ∴函数的定义域为{x|2kπ 3 (2)y＝sin2x＋sin x－1，令t＝sin x，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]， 画出函数图象如图所示，从图象可以看出， 1 当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1， 25 可得y∈[－，1]． 4 题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： π －2x＋?；(2)y＝|tan x|. (1)y＝sin?3?? π 2x－?，再求单调区间及周期．(2)由y＝tan x的图象→y＝|tan x|思维启迪 (1)化为y＝－sin?3?? 的图象→求单调性及周期． π 2x－?， 解 (1)y＝－sin?3?? π 2x－?的减区间， 它的增区间是y＝sin?3?? 5 π 2x－?的增区间． 它的减区间是y＝sin?3??πππ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 232π5π 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 1212ππ3π 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 2325π11π 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 1212 π5π kπ－，kπ＋?，k∈Z； 故所给函数的减区间为?1212??5π11π kπ＋，kπ＋?，k∈Z. 增区间为?1212??2π 最小正周期T＝＝π. 2 π?kπ－π，kπ?，kπ，kπ＋?，(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是?k∈Z，减区间是2?2???k∈Z. 最小正周期T＝π. 思维升华 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”． (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． ππ ＋4x?＋cos?4x－?的周期、单调区间及最大、最小值． 求函数y＝sin?6??3?? πππ ＋4x?＋?－4x?＝， 解 ∵??3??6?2ππ 4x－?＝cos?－4x? ∴cos?6???6?πππ ＋4x??＝sin?＋4x?. ＝cos?2－??3??3? ?? π2ππ4x＋?，周期T＝＝. ∴y＝2sin?3??42 πππ 当－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递增， 2325πkππkπ －＋，＋? (k∈Z)． ∴函数的递增区间为??242242?ππ3π 当＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递减， 232 6 πkπ7πkπ?∴函数的递减区间为??24＋2，24＋2?(k∈Z)． πkπ 当x＝＋ (k∈Z)时，ymax＝2； 2425πkπ 当x＝－＋ (k∈Z)时，ymin＝－2. 242题型三 三角函数的奇偶性和对称性 π |φ|≤?的图象关于直线x＝0对称，例3 (1)已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) ?2?? 则φ的值为________． 4π? (2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3，0?中心对称，那么|φ|的最小值为( ) πA. 6 πB. 4 πC. 3 πD. 2 π 答案 (1) (2)A 6 πx＋?， 解析 (1)f(x)＝2sin??3? π x＋＋φ?图象关于x＝0对称， y＝f(x＋φ)＝2sin??3?即f(x＋φ)为偶函数． πππ ∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z， 326ππ又∵|φ|≤，∴φ＝. 26 4π2π 2×＋φ?＝3cos?＋φ＋2π? (2)由题意得3cos?3???3?2π2ππ ＋φ?＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ＝3cos??3?32ππ ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为. 66 思维升华 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值． 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. π 如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x. 2如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可． (1)若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对 称中心为 ( ) π A．(－，0) 8 B．(0,0) 7 1 C．(－，0) 8 1 D．(，0) 8 πππ (2)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝2212ππ 对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0， 43ππ ]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 66答案 (1)C (2)②④ π解析 (1)由条件得f(x)＝2sin(ax＋)， 42π 又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π， aπ 故f(x)＝2sin(2πx＋)． 41 将x＝－代入得函数值为0. 8(2)∵T＝π，∴ω＝2. πππ 又2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)． 1223ππππ∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)， 2233由图象及性质可知②④正确． 三角函数的单调性、对称性 ππ 典例：(10分)(1)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( ) 42 15 A．[，] 241 C．(0，] 2 13B．[，] 24D．(0,2] ππ (2)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f(x＋)＝f(－x)成立，且f()＝1，则实 48数b的值为 A．－1 ( ) B．3 C．－1或3 D．－3 π 思维启迪 (1)(，π)为函数f(x)某个单调减区间的子集； 2 π (2)由f(x＋)＝f(－x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可． 4 8
