2.2 抛物线的简单性质(二)
学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点 直线与抛物线的位置关系 思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系？
思考2 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
梳理 直线与抛物线的位置关系与公共点个数．
位置关系 相交 相切 相离
直线y＝kx＋b与抛物线y＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程kx＋2(kb－p)x＋b2
22
2
公共点个数 有两个或一个公共点 有且只有一个公共点 无公共点 ＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当
k＝0时，直线与抛物线的对称轴____________，此时直线与抛物线有________个公共点．
类型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
2
反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练1 设抛物线y＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是( ) 11A．[－，]
22C．[－1,1]
类型二 弦长与中点弦问题
例2 已知抛物线y＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法
2
2
B．[－2,2] D．[－4,4]
y2x2
跟踪训练2 已知抛物线C1：x＝4y的焦点F也是椭圆C2：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点，
ab2
C1与C2的公共弦的长为26，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两
→→
点，且AC与BD同向． (1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
类型三 抛物线中的定点(定值)问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝4x相交于不同的A、B两点． →→
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；
→→
(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化． 跟踪训练3 如图，过抛物线y＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
2
2
1．过点P(0,1)与抛物线y＝x有且只有一个交点的直线有( ) A．4条 C．2条
2
2
B．3条 D．1条
2．若抛物线y＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( ) 1A. 21C. 6
2
1B. 41D. 8
3．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( ) A．4 C．16
B．8 D．32
→→2
4．设O为坐标原点，F为抛物线y＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为________．
5．已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程； (3)求弦AB的长．
