第八篇 平面解析几何 专题8.02 两直线的位置关系
【考试要求】
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【知识梳理】
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交
??A1x＋B1y＋C1＝0，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组?的解一一对
?A2x＋B2y＋C2＝0?
应.
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解. 3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. (2)点到直线的距离公式
|Ax0＋By0＋C|
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. A2＋B2(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
|C1－C2|A2＋B2
. 1
【微点提醒】
1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). 2.两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 3.在运用两平行直线间的距离公式d＝式.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 【解析】 (1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在. 【教材衍化】
2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( ) 23A. 5【答案】 D
【解析】 由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|7＝. 2
36＋64
23B. 10
C.7
7D. 2
|C1－C2|
时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形A2＋B2
3.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________. 【答案】 1 【解析】 由题意知 【真题体验】
4.(2019·淄博调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
m－4－2－m
＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
2
A.2 【答案】 C
B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
2m＋14
【解析】 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.
m3－25.(2019·北京十八中月考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( ) A.1 【答案】 C
【解析】 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2
＝2.
B.2
C.2
D.22
6.(2019·宁波期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( ) A.6x－4y－3＝0 C.2x＋3y－2＝0 【答案】 A
1?3
，0，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程【解析】 因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为??2?213
x－?，化为一般式，得6x－4y－3＝0. 为y＝?2?2?【考点聚焦】
考点一 两直线的平行与垂直
【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
(2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
?42?
A.?－3，3? ??
?424?
B.?－3，3，3? ??
2??4
C.?3，－3? ??
【答案】 (1)C (2)D
22??4
D.?－3，－3，3?
?
?
【解析】 (1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.
3
(2)由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋12
＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或－342
；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为3322??4
?－，－，?.
33??3
【规律方法】 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求a的值； (2)当l1⊥l2时，求a的值. 【答案】见解析
【解析】(1)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，
a1?－＝，?a121－a两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得?解得a＝－1.
21－a
??－3≠－（a＋1），综上可知，a＝－1.
??A1B2－A2B1＝0，
法二 由l1∥l2知?
?AC－AC≠0，?1221
?a（a－1）－1×2＝0，??a2－a－2＝0，?
即????a＝－1. 22???a（a－1）－1×6≠0?a（a－1）≠6
(2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合； a1当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
21－aa12
－?·由l1⊥l2，得?＝－1?a＝. ?2?1－a3法二 ∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0， 2
即a＋2(a－1)＝0，得a＝.
3考点二 两直线的交点与距离问题
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