(d) x＝y和x?y不能同时出现；
(e) 存在一x，对每一y和z，使xy?xz。
48. 将下列断言译为逻辑符号，选用的谓词应使逻辑符号中至少含有一个量词： (a) 有一个且仅有一个偶数是质数； (b) 没有一个奇数是偶数；
(c) 某些卡车慢于所有火车，但是至少有一辆火车，快于每一卡车； (d) 所有步行的，骑马的或乘车的人，凡是口渴的都喝泉水。
49. 设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，P(x)表示“x是质数”，N(x)表示“x是负数”，I(x)表示“x是整数”和一些中缀表示的谓词诸如y?x2?1等，将下列各句翻译成逻辑符。
(a) 一个整数是奇数，如果它的平方是奇数； (b) 有两个奇数它们的和是偶数； (c) 不存在一个整数x使x2?1是负数； (d) 任何两个质数之和是质数；
(e) 对任何整数，如果它的平方是负的，那么1＝1。 50. 如果论述域是{a,b,c}，试消去下列公式中的量词： (a) ?xR(x)??xS(x)； (b) ?x(P(x)?Q(x))。 51. 试说明下列公式是合式公式： (a) (?x(F(x)?Q(x))； (b) (F(x,y)?(?xG(x,y)))。
1.7 谓词演算的永真公式
52. 证明永真公式Q14,Q15,Q16,Q17,Q19。
53. 下列断言如果是真的证明它们，如果是假的，找出P和Q的解释以证明公式是假。 (a) ?x(P(x)?Q(x))?(?xP(x)??xQ(x))； (b) (?xP(x)??xQ(x))??x(P(x)?Q(x))； (c) (?x(P(x)??xQ(x))??x(P(x)?Q(x))； (d) ?x(P(x)?Q(x))?(?xP(x)??xQ(x))。
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54. 设论述域是{a0,a1,a2,,an}，试证明下列关系式：
(a) ?xA(x)?P??x(A(x)?P)； (b) ?x(A(x)?B(x))??xA(x)??xB(x)。
55. 对一个仅含元素0和1的论述域，试证明：?x(P(x)?Q(x))?(?xP(x)??xQ(x))，并
证明蕴含式之逆不是有效的。
1.8 谓词演算的推理规则
56. 对下列每一前提集合，列出能得到的恰当结论和应用于这一情况的推理规则。 (a) 所有三角形函数都是周期函数，而所有周期函数都是连续函数； (b) 所有偶数都被2除尽。整数4是偶数，但3不是；
(c) 对汽车工业的好事就是对国家的好事，对国家的好事就是对你的好事。你去买一辆
高价卡车是对汽车工业的好事。
57. 下列推导步骤为什么是错误的？ (a) (i) ?xP(x)?Q(x) P (ii) P(x)?Q(x) T，1，US (b) (i) ?x（P(x)?Q(x)) P
(ii) ?P(a)?Q(b) T，1，US (c) (i) ?xP(x)??x(Q(x)?R(x)) P
(ii) P(a)??x(Q(x)?R(x) T，1，US ）58. 证明下列各断言：
(a) ?(?xP(x)?Q(a))推得?xP(x)??Q(a))； (b) ?x(P(x)?Q(x)),?x?P(x)，推得?xQ(x)。 59. 考虑蕴含式?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x) (a) 证明它不是有效的。
(b) 下面是一个论证，企图证明上式有效，试找出不正确的地方。
?x(P(x)?Q(x))???x?(P(x)?Q(x))???x(?P(x)??Q(x))??(?x?P(x)??x?Q(x))???x?P(x)???x?Q(x)??xP(x)??xQ(x)
60. 判断下列结论C能否有效的从给定的前提得出： (a) ?x(P(x)?Q(x)),?yP(y) C:?zQ(z)；
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(b) ?xP(x),?xQ(x) C:?x(P(x)?Q(x))。
补充习题：
1判断以下语句是否为命题。若是命题，确定其真值。
⑴上海是个小村庄。 ⑵存在外星人。 ⑶禁止吸烟！ ⑷北京是中国的首都。
⑸4是素数或6是素数。⑹今天你吃了吗？ ⑺11+1=100 ⑻我正在说谎。 2将下列命题符号化：
⑴2008年将在北京举办奥运会并且中国是世界四大文明古国之一。 ⑵如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。 ⑶张华是三好学生当且仅当德、智、体全优秀。 ⑷他或者骑自行车去学校，或者乘公共汽车去学校。 3构造命题公式?p∨q，(p∧q)∨(?p∧?q)的真值表。
4根据等价的定义，用真值表证明p→(q→p)??p→(p→?q)。 5用真值表证明德摩根律 ?(A∨B)??A∧?B。 6用等价演算法证明p?q ?(p∧q)∨(?p∧?q)。 7用等价演算法判断下列公式的类型。
⑴ q∨? ((?p∨q)∧p) ⑵ (p∨?p)→((q∨?q)∧r) ⑶ (p→q)∧?p
8利用代入规则证明((p∨q)∧r)∨?((p∨q)∧r)为重言式。 9求命题公式(p∨q)?p的合取范式和析取范式。 10用真值表法，求(p→q)→r的主析取范式。
11用等价演算法求(p∧q)∨(?p∧r)∨(q∧r)的主析取范式。
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12用真值表法求(p→q)→r的主合取范式。 13用等价演算法求(p→q)→r的主合取范式。
14证明重言式的对偶式是矛盾式，矛盾式的对偶式是重言式。 15推证?p∧(p∨q)?q。
16分析事实：“如果我有时间，那么我就去上街；如果我上街，那么我就去书店买书；但我没有去书店买书，所以我没有时间。”。试指出这个推理前提和结论，并证明结论是前提的有效结论。
17用直接推理法证明(p→q)∧(q→r)∧p ?r。 18用CP规则证明：p→(q→r)，?t∨p，q ?t→r。
19用间接法（反证法）证明：(p∧q)→r，?r∨s，?s，p ??q。 20将下列命题符号化，并讨论它们的真值。
⑴ 2与3都是偶数。
⑵ 如果5大于3，则2大于6。 21个体域是人类集合，对下列命题符号化。
⑴ 凡人要死。 ⑵ 有的人是研究生。
22对下列命题符号化，并在①，②，③三个个体域中考察命题的真值。
命题：⑴ 所有数小于5。
⑵ 至少有一个数小于5。 个体域：
① {-1，0，1，2，4} ② {3，-2，7，8} ③ {15，20，24}
23对下列命题在①，②两个个体域中符号化。
命题：⑴ 所有老虎是要吃人。
⑵ 存在一个老虎要吃人。 个体域：
① 所有老虎组成的集合。 ② 全总个体域。
24用谓词公式表达下列自然语言中的命题：
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