∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°． ∴C（1，1）．
2
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax+bx+c，
则有，
∴
∴抛物线解析式为y=﹣x+x+2， （2）如图1所示，
2
设直线PC与AB交于点E．
∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分， ∴
=或
=3，
过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA． ∴△BEF∽△BAO， ∴∴当
． =时，
，
∴EF=，BF=， ∴E（﹣，）
∴直线PC解析式为y=﹣x+，
∴﹣x2+x+2=﹣x+，∴x1=﹣，x2=1（舍去），
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∴P（﹣，当
），
）．
时，同理可得，P（﹣，
（3）设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S． 由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（C1B2的解析式为y=x+t+，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+）． ①如图2所示，
，0）．
当0＜t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．
设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ． 由
，
∴，
∴Q（，）．
×
+×（t+）×
=﹣
t+t+．
2
∴S=S△QMO+S△QON=×∴S的最大值为②如图3所示，
．
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当≤t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形． 设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G． ∴G（1﹣2t，4﹣5t）， ∴D1H=
+1﹣2t=
，D1G=4﹣5t．
×（4﹣5t）=（5t﹣4）．
2
∴S=D1H×D1G=×
∴当≤t＜时，S的最大值为．
综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为
．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形相似的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是分类计算，也是本题的难点．
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