普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
一．（本题满分30分）
（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ） （A）2(cos （C）2(sin（2）函数y?4?4x?isin?icos?4?4) （B）2(cos)?4?isin?4?4)
) （D）?2(sin?icos?4
?5?1的反函数是 （ C ）
?log?log （A）y?log5(x?1) （B）y （C）y?log5(x?1) （D）yx5?1 5
(x?1)（3）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是 （ D ）
（A）A∪B （B）A∩B （C）A∪B （D）A∩B （4）函数y?2sin2xcos2x是 （ A ）
（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数
2424???? （C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数 （5）已知c<0，在下列不等式中成立的一个是 （ C ） （A)c?2c (B)c?(12)c (C)2c1c1cc?() (D)2?()22
（6）给出20个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是
（A）1789 （B）1799 （C）1879 （D）1899
(7)已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是( B ) （A）22a2 （B）2a2 （C）23a2 （D）32a2
普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 （8）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有 （ A ） （A）D=E （B）D=F （C）E=F （D）D=E=F （9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ） （A）充分条件 （B）必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件
（10）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是 （ D ）
（A） （B） （C） （D） Y Y Y Y O O X X O X O X
二．（本题满分24分） （1）求方程答：x125(x?x?0.5)2?45的解 ?12,x2??32.（注：仅写出其中一个解的，给2分）
（2）已知??答：0
?1?23i,求????1的值 2（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的
几何体的体积 答：
253?
普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 （4）求答：
52lim2n?n?75n?422.
n??（5）求(2x答：-40 3?1x2)5展开式中的常数项 （6）求椭圆答：
x22x29?y24?1有公共焦点，且离心率为
52的双曲线方程 4?y?1.
三．（本题满分10分）
如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC 证：设圆O所在平面为α，由已知条件，
PA⊥平面α，又BC在平面α内， 因此PA⊥BC P
C A O B
因为∠BCA是直角，因此BC⊥AC
而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，
△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直 四．（本题满分10分）
求满足方程|Z?3?3i|?3的辐角主值最小的复数Z .
普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 解：满足方程|Z?3?3i|?3的复数在
Y
4 3 P 2 A 1 Q -4 -3 -2 -1 O X
复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为?3?3i，半径为3，因而圆与x
轴相切于点Q，点Q对应的复数是-3 从点O作圆的另一条切线OP，P为切
点，则点P所对应的复数为所求的复数 ∵?3?3i?23(cos150??isin150?),
设点B对应的复数为1，∴∠BOA=1500，|OA|=2BOA=300
3，∠QOA=1800-∠
∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心， ∴∠AOP=∠QOA=300，∠QOP=2∠QOA=600， ∠BOP=1800-∠QOP=1200，|OP|=|OA|cos∠AOP=2∴所求的复数Z=3(cos120??isin120?)?3(?五．（本题满分12分）
已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线 3?32?3.
12?32i)??32?323i.
解：设点B的坐标（X,Y)，点P的坐标为（x,y)，则
