2013年普通高等学校招生数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M?{x|(x?1)2?4,x?R}，N?{?1,0,1,2,3}，则M?N＝( )．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．设复数z满足(1?i)z?2i ，则z＝( )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3?a2?10a1，a5?9，则a1?( )．
1111??A．3 B．3 C．9 D．9
m?平面?，n?平面?.直线l满足l?m，l?n，l??，l??，4．已知m，则( )． n为异面直线，
A．?∥?且l∥? B．???且l??
C．?与?相交，且交线垂直于l D．?与?相交，且交线平行于l
5．已知(1?ax)(1?x)5的展开式中x的系数为5，则a?( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．执行下面的程序框图，如果输入的N?10，那么输出的S?( )．
2111???? 2310111B．1?????
2!3!10!111C．1?????
2311111 D．1?????
2!3!11!A．1?
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
8．设a?log36，b?log510，c?log714，则( )．
A．c?b?a B．b?c?a C．a?c?b D．a?b?c
1
?x?1,?9．已知a?0，x，y满足约束条件?x?y?3,若z?2x?y的最小值为1，则a?( )．
?y?a?x?3?.?11A．4 B．2 C．1 D．2
10．已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c，下列结论中错误的是( )．
A．?x0?R，f(x0)?0；
B．函数y?f(x)的图像是中心对称图形；
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减； D．若x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?0.
11．设抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，点M在C上，|MF|?5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．
A．y2?4x或y2?8x B．y2?2x或y2?8x
C．y2?4x或y2?16x D．y2?2x或y2?16x
12．已知点A(?1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y?ax?b(a?0)将?ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．
??21?21??11?1?,1?,????,?????2322? D．?32? ? C．?A．(0,1) B．?
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE?BD＝__________.
14．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
1，则 14n?_________.
15．设?为第二象限角，若tan?????π?1??，则sin??cos??__________. 4?2
16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10?0，S15?25，则nSn的最小值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分) ?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a?bcosC?csinB. (1)求B；
(2)若b?2，求?ABC面积的最大值．
2
18． (本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC?A1B1C1，D，E分别是AB，BB1的中点，
2AB. 2(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D?A1C?E的正弦值． AA1?AC?CB?
19． (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t，100?X?500)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X?[100,110)，则取X?105，且X?105的概率等于
,110)的频率)，求T的数学期望． 需求量落入[100
x2y220． (本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2?2?1(a?b?0)右焦点的直线
ab1x?y?3?0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
2(1)求M的方程；
(2) C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD?AB，求四边形ACBD面积的最大值．
21． (本小题满分12分)已知函数f(x)?e?ln(x?m)． (1)设x?0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m?2时，证明f(x)?0.
3
x
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：??x?2cost,(t为参数)上，对应参数分别为t??与t?2?(0???2?)，
?y?2sintM为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，b，a均为正数，且a?b?c?1，证明： (1) ab?bc?ac?1； 3a2b2c2???1. (2)bca4
