④ 设A*是n（n?2）阶方阵A的伴随矩阵，则有
当R(A)?n?n? R(A*)??1当R(A)?n?1
?0当R(A)?n?1?六 向量空间
1、向量空间的概念
定义1：设V为n维向量的非空集合，R为实数域，若V对加法和数乘运算封闭，即
????1）??,??V,有????V 则称集合V为向量空间 ??2）???V,??R，有???V①全体n维向量的集合Rn??(x1,x2,?,xn)xi?R,i?1,2,?,n?就是一个向量空间 ,Rn是一个n维向量空间
定义2：设W和V都是向量空间，而且W是V的子集合，则称W是V的一个子空间。
????②解向量的集合W?XAX?0,X?Rn?就是一个向量空间，且是Rn的一个子空间。
?2、向量空间的基、维数
???定义3：设?1,?2,?,?r是向量空间V的向量，且满足
???1）?1,?2,?,?r线性无关
????2）V中的任一向量?均可由?1,?2,?,?r线性表示
???则称?1,?2,?,?r是向量空间V的一个基，基中向量的个数r称为向量空间V的维数，即V
为r维向量空间
由基的定义，求向量空间V的基就是求V的一个最大无关组。因此 ???若?1,?2,?,?n是向量空间V中的向量,则
?????????1) 当R(?1,?2,?,?n)= r < n ,且知?1,?2,?,?r是V中一组线性无关的向量, 则?1,?2,?,?r就是
V的一个基, V为r维向量空间。
??????2) 当R(?1,?2,?,?n)= n，则?1,?2,?,?n就是V的一个基, V为n维向量空间。
???? 解空间 W?XAX?0,X?Rn?? 的基和维数
??AX?0 的一个基础解系，就是W的一个基，基础解系所含向量的个数就是W的维数
3、向量的坐标
????定义4：设?1,?2,?,?r是向量空间V的一个基，???V,若
???? ?=x1?1?x2?2???xr?r
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???? 则称有序数组(x1,x2,?,xr)为向量?在基?1,?2,?,?r下的坐标
????根据定义，求向量?在基?1,?2,?,?r下的坐标，就是解未知数为x1,x2,?,xr的非齐次线性方程组
????x1?1?x2?2???xr?r=?
?????因此只要对此方程组的增广矩阵 A???1,?2,?,?r┊?? 进行初等变换即可。
第三章 矩阵的秩与线性方程组
（一）齐次线性方程组
1、解的判别定理
设n元齐次线性方程组 AX?0
1）AX?0 只有零解 ?R(A)?n 2）AX?0 有非零解 ?R(A)?n 当m?n时， AX?0 只有零解 ?A?0 A?0
AX?0 有非零解 ?当m?n时， AX?0 必有非零解 2、解向量的性质
设?1,?2是AX?0的两个解，则 1) ?1??2 也是AX?0的解 2) ?1?1也是AX?0的解 (?1?R)
3）一般地若?1,?2,??k是AX?0的解向量，则对任意k个数?1,?2,?,?k ?1?1??2?2????k?k也是AX?0的解
3、基础解系 （注： 基础解系不是唯一的，但它们之间的关系是等价的） ① 定义：设?1,?2,?,?S是AX?0的一组解向量，如果， 1） ?1,?2,?,?S线性无关
2）AX?0的任意一个解向量都可由?1,?2,?,?S线性表示 则称?1,?2,?,?S是AX?0的一个基础解系 4、通解的结构
若n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵的秩R(A)?r?n，
则方程组有无穷多非零解，且基础解系含有n?r个向量?1,?2,?,?n?r，
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通解为 X??1?1??2?2????n?r,?n?r (?1,?2,?,?n?r为任意实数） 5、有关结论
① 设n元齐次线性方程组 AX?0
若R(A)?r?n，则方程组的线性无关解最多有n?r个 ② 解空间 W??XAX?0,X?Rn? 的基和维数
AX?0 的一个基础解系，就是W的一个基，基础解系所含向量的个数就是W的维数
（二）非齐次线性方程组
1、解的判别定理
设n元非齐次线性方程组 AX?b
~1）若R(A)?R(A)?n 则 AX?b 有且仅有唯一解
~2）若R(A)?R(A)?n 则 AX?b 有解且有无穷多组解 ~3）R(A)?R(A) 则 AX?b 无解
若m?n时， AX?b 有唯一解 ?2、解的性质
A?0
性质1 如果 ?1,?2是AX?b的两个解向量，则???1??2一定是与它相伴的AX?0的解 性质2 如果 ?是AX?b的解，?是AX?0的解，则?+?一定是AX?b的解 3、通解的结构
~设n元非齐次线性方程组 AX?b， 若R(A)?R(A)?r?n，
且?1,?2,?,?n?r是与它相伴的AX?0基础解系,?*是AX?b的一个特解， 则AX?b的通解为
X? ?*+?1?1??2?2????n?r,?n?r=?*??（其中?1,?2,??n?r为任意实数）
4、有关结论
~ 设n元非齐次线性方程组 AX?b， 若R(A)?R(A)?r?n，则方程组的线性无关解最多
有n?r?1个
（三）非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系
设n元非齐次线性方程组 AX?b有解，则
它有唯一解的充要条件是方程组 AX?0只有零解， (或它有无穷多解的充要条件是方程组AX?0存在非零解，(或一般地
R(A)?n) R(A)?n)
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AX?b有唯一解AX?b有无穷多解????AX?0只有零解AX?0有非零解(下面的箭头不成立)
(下面的箭头不成立)第四章 特征值与特征向量
一、 矩阵的特征值与特征向量
一）特征值与特征向量的概念及计算
1． 定义：设A=(aij)n?n是一个n 阶方阵，若存在数?和非零n维列向量X?[x1,x2,?xn]
T使得AX??X,或(?E?A)X?0
则称?为A的特征值，X为A的对应于（或属于）?的特征向量。 称?E?A=0 为A的特征方程, 称?E?A 为A的特征多项式。 2.求特征值与特征向量的方法（步骤）
1） 解特征方程?E?A=0 求出A的n个特征值?1?2??n（可以有重根） 2） 将?i依次带入（?iE－A）X=0，解之得A的对应于?i的全部特征向量。 二）特征值与特征向量的性质
1）如果X是A的属于?的特征向量，则对于任意常数k,kX也是A的属于?的特征向量2）如果x1,x2是A的属于?的两个特征向量，且x1?x2?0，则x1?x2也是A的属于?的特征向量一般地：属于?的若干个特征向量x1，x2?xm的线性组合X?k1x1?k2x2???kmx（）也是A的属于?的特征向量（其中k1，k2，?km为常数）m?0由此可知：(A)方阵A的一个特征值可以对应无穷多个特征向量。
（即A的对应于特征值?i的特征向量有无穷多个，它们都是（?iE?A）X?0的非零解，其中（?iE?A）X?0的基础解系就是属于?i的线性无关的特征向量）（B)但是方阵A的一个特征向量只能对应一个特征值性质1如果n阶方阵A?(aij)的全部特征值为?1，?2，??n(k重特征值算作k个特征值)则?1??2????n??aiii?1n?1?2??n?A性质2若?是可逆方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，则??0，且??1?1
?是A?1的一个特征值，X为A?1的对应于??1的特征向量。性质3若?是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是一个正整数。则?m是Am的一个特征值，X为Am的对应于?m的特征向量。
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