§1.1.1 任意角
一、教学目标
1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角； 2.能在到范围内，找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角； 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合，并用符号语言正确表示。 二、教学重难点
能写出与任一已知角终边相同的角的集合，并用符号语言正确表示。 三、教学过程 （一）知识连接
1.初中时如何定义角的？
（1）由具有公共端点的两条射线构成的图形叫做角。 （2）角可以看做是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针旋转到另一位置OB就形成角?。射线 OA，OB分别是角?的始边和终边。 2.初中学习的角的范围是？ 0°～360° （二）新知学习
知识点1：任意角的概念
[活动设计]：请同学们考虑如下问题，并且思考“实际生活中有些角度是否已经超出初中所学的范围？”
问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？（分钟顺时针旋转30°）假如你的手表快了5分钟或1.5 小时，你又是怎样将它校准的？当时间校准后，分针各转了多少度？（分钟逆时针旋转30°、逆时针旋转540° ）
问题2：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720°”（即转体2周），“转体1080°”（即转体3周）等，而且旋转方向也有顺时针和逆时针的不同。
不难看出，以上情景当中，要准确地描述这些角度，不仅要知道旋转量，还要知道旋转方向，这已经超出了我们初中时对角的理解，这些都说明了我们有必要对角的概念进行推广，这也是我们今天要研究的内容：任意角。
[整理提炼]：任意角的定义 1.规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。记法：角?或??，可以简记成?。
2.推广后角可以是任意大小的正角、负角和零角。 [反馈练习]：如右图，正角?=210°，负角β=-150°，γ=-660°。
知识点2：象限角
在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，
为此，我们必须了解象限角这个概念。
[整理提炼]：象限角的定义
1.角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
2.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
[反馈练习]：锐角是第几象限角？第一象限的角一定是锐角吗？再分别用钝角、直角来回答这两个问题。
知识点3：与已知角?终边相同的角的集合 [活动设计]：请同学们考虑如下问题，将角按上述方法放到直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系中任意一条射线OB（如图1.1-5），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
在教材图1.1-5中，如果-32°的终边是OB，那么328°，-392°…角的终边都是OB，而328°=-32°+360°，-392°=-32°—360°。
设S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}，则328°，-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素。因此，所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与-32°角终边相同。
[整理提炼]：一般地，我们有：所有与角?终边相同的角，连同?在内，可构成一个集合S={β|β=?+k·360°，k∈Z}，即任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整个周角的和。
[反馈练习]：
例1．在0°到360°范围内，找出与-950°12′角终边相等的角，并判断它是第几象限角。
例2．写出终边在y轴上的角的集合
例3．写出终边在y?x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来。
（三）课堂小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。本节课重点是学习终边相同的角的表示法。严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义。
（四）课后作业
（1）阅读教材P2-P5； （2）教材P5练习第1-5题； （3）教材P9习题1.1第1、2、3题。
§1.2.1任意角的三角函数
一、教学目标
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来。 二、教学重难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. 三、教学过程 （一）知识连接
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余
aba弦、正切依次为sinA?,cosA?,tanA? ．
ccb角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 （二）新知学习
知识点：三角函数的定义 [活动设计]：请同学们思考，在如下直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ MPb sin???OPr 其中:OMa OM?acos???OPr MP?b MPbtan???OP?r?a2?b2 OMa
思考：对于确定的角?，这三个比值是否会随点P在?的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r?1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
MPOMMPb?b; cos???a; tan???. OPOPOMa上述锐角?的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推sin??广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
[整理提炼]：三角函数的定义
1.结合上述锐角?的三角函数值的求法,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值.所以,
我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.利用单位圆定义任意角的三角函数的定义
如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么：
y（1）y叫做?的正弦(sine),记做sin?,即sin??y； P?x,y（2）x叫做?的余弦(cosine),记做cos?,即cos??x；
﹒? ?O（3）yx叫做?的正切(tangent),记做tan?，即：.
A?1,0?
tan??yx(x?0)
所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.
注意：当?的终边在y轴上时，点P的横坐标tan??y等于0， 无意
义， 此时： x ????k?(k?Z 2)[反馈练习]： 例1.求
5?的正弦、余弦和正切值.
3例2. 已知角?的终边经过点P0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值.
（三）课堂小结
本节课主要讲了三角函数的概念以及三角函数的定义域，这里尤其要注意正切函数的定义域，学会求已知角的正余弦和正切值，掌握已知角的终边上的坐标点求角的正余弦和正切值。 （四）课后作业
（1）阅读教材P11-P13； （2）教材P15练习第1、2题； （3）教材P20习题1.2第1、2题。
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