第七节 二次函数的综合应用
要题随堂演练
1．(2018·莱芜中考)如图，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E. (1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，求线段DE长度的最大值；
(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
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图1
图2
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝3，抛物线y＝ax－ax－a经过点B(2，(1)求抛物线的解析式；
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
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)，与y轴交于点D. 3
(3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
3．(2018·自贡中考)如图，抛物线y＝ax＋bx－3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点． (1)求直线AD及抛物线的解析式；
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？ (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案
?a?1．解：(1)由已知得?
－b＋c＝0，?16a＋4b＋c＝0，解得?
a＝－34
，
?9???b＝ c＝3，?4，c＝3，
∴y＝－34x2＋9
4
x＋3.
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
3
∴????4k＋b＝0，?k＝－4，?解得?b＝3，?
?
?b＝3，
∴y＝－3
4
x＋3.
设D(a，－34a2＋9
4
a＋3)，(0 3 如图，过点D作DM⊥x轴，交BC于点M， ∴M(a，－3 4 a＋3)， ∴DM＝(－34a2＋94a＋3)－(－3 4a＋3)＝ －32 4 a＋3a. ∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB， ∴△DEM∽△BOC，∴DEOB DM＝BC . ∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴DE＝4 5DM， ∴DE＝－35a2＋1232 125a＝－5(a－2)＋5， ∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是12 5 . (3)假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等． ∵F为AB的中点，∴OF＝3OC 2，tan∠CFO＝OF ＝2. 如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H. ①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝GB BC＝2，∴BG＝10. ∵△GBH∽△BCO，∴GHHBBO＝OC＝GB BC， ∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)． 设直线CG的解析式为y＝kx＋b， ?1 ∴???b＝3， ?解得??10k＋b＝8，?k＝2， ? ?b＝3， ∴y＝1 2 x＋3， ?∴?y＝1 ?2x＋3，??y＝－3解得x＝72 9 3或x＝0(舍)． 4x＋4x＋3， 4
