题组层级快练(十三)
1．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A．y＝cosx C．y＝lnx 答案 A
解析 y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x＋1是偶函数但没有零点，故选A. 4
2．函数f(x)＝x－的零点个数是( )
xA．0 C．2 答案 C
4
解析 法一：画出y＝x与y＝的图像，知有两个交点．
x
42
法二：令f(x)＝0，解x－＝0，即x－4＝0，且x≠0，则x＝±2.
x1
3．(2019·郑州质检)函数f(x)＝lnx－的零点的个数是( )
x－1A．0 C．2 答案 C
1
解析 y＝与y＝lnx的图像有两个交点．
x－1
4．函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为( ) A．2 C．4 答案 D
解析 借助余弦函数的图像求解．f(x)＝xcos2x＝0?x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0，π3π5π7π
2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．
44445．函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是( ) 11
A．(，)
42C．(1，2) 答案 C
1
B．(，1)
2D．(2，3) B．3 D．5 B．1 D．3 B．1 D．无数个
2
B．y＝sinx D．y＝x＋1
2
1
解析 因为y＝与y＝log2x的图像只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．又因为f(1)
x＝1，f(2)＝－1，所以函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是(1，2)．故选C. 6．(2019·湖南株洲质检一)设数列{an}是等比数列，函数y＝x－x－2的两个零点是a2，a3，则a1a4＝( ) A．2 C．－1 答案 D
解析 因为函数y＝x－x－2的两个零点是a2，a3，所以a2a3＝－2，由等比数列性质可知a1a4＝a2a3＝－2.故选D.
7．(2019·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
2
2
B．1 D．－2
答案 B
解析 作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B. 2x
8．若函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
xA．(1，3) C．(0，3) 答案 C
解析 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0
B．2 D．4
2
2
B．(1，2) D．(0，2)
(数形结合法)
∵a>0，∴a＋1>1.
而y＝|x－2x|的图像如图，
∴y＝|x－2x|的图像与y＝a＋1的图像总有两个交点．
1x
10．已知x0是函数f(x)＝2＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
1－xA．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 答案 B
111
解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)
1－x1－xx－1＝2在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.
11．设方程10＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A．x1x2<0 C．x1x2>1 答案 D
解析 作出函数y＝10与y＝|lg(－x)|的图像，如图所示．因为x1，x2是10＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图像交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1 x x x x 2 2 2 2 B．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 B．x1x2＝1 D．0 12．(2019·湖北襄阳一中期中)已知a是函数f(x)＝2－log1x的零点，若0 2的值满足( ) A．f(x0)<0 C．f(x0)>0 答案 A 解析 因为函数f(x)＝2－log1x在(0，＋∞)上是增函数，a是函数f(x)＝2－log1x的零 22点，即f(a)＝0，所以当0 13．已知函数f(x)＝e＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( ) A．a B．c x x x x B．f(x0)＝0 D．f(x0)的符号不确定 C．c D．b 解析 ∵e＝－a，∴a<0.∵lnb＝－b，且b>0，∴0 14．(2019·沧州七校联考)给定方程()＋sinx－1＝0，有下列四个命题： 2p1：该方程没有小于0的实数解； p2：该方程有有限个实数解； p3：该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； p4：若x0是该方程的实数解，则x0>－1. 其中的真命题是________． 答案 p3，p4 a 1x1x1x 解析 由()＋sinx－1＝0，得sinx＝1－()，令f(x)＝sinx，g(x)＝1－()，在同一坐 2221x 标系中画出两函数的图像如图，由图像知：p1错，p3，p4对，而由于g(x)＝1－()递增， 2小于1，且以直线y＝1为渐近线，f(x)＝sinx在－1到1之间振荡，故在区间(0，＋∞)上，两者的图像有无穷多个交点，所以p2错． ??2－a，x≤0， 15．若函数f(x)＝?有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． ?lnx，x>0，? x 答案 (0，1] 解析 当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2.因为0<2≤2＝1，所以0 2??，x≥2， 16．已知函数f(x)＝?x若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实 ??（x－1）3，x<2.数k的取值范围是________． 答案 (0，1) 解析 画出分段函数f(x)的图像如图所示，结合图像可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图像与直线y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0，1)． x x x 0
