uuuruuuur(3)证明：设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且BD＝λBC1. 所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)． 解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ.
uuur所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． uuuruuuur9由AD·A1B＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.
25
9
因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，
25使得AD⊥A1B. 此时，
计算直线l与平面α的夹角为θ. (1)利用法向量计算θ的步骤如下：
BD9＝λ＝. BC125
(2)利用定义计算θ的步骤如下：
[对应课时跟踪训练十二]
1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－
2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为( )
A.
2
2
2
2
B．－1D. 2
2
2
C．±
解析：cos〈a，μ〉＝
a·μ32
＝＝，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值
|a||μ|2·32
22，cos θ＝. 22
sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝
答案：A
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA1＝3，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于( )
4
A. 5C.22
5
3B. 5D.32
5
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，
AA1＝3，∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．
uuuruuuur而面BB1D1D的法向量为AC＝A1C1＝(－4,4,0)，∴BC1与对角面
uuuuruuuurBB1D1D所成角的正弦值即为|cos〈BC1，A1C1〉|＝
|
－4，0，－3·－4，4，0|1622
＝＝. 2222
54＋3×4＋45×42
答案：C
3.如图所示，点P是△ABC所在平面外的一点，若PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，则点P在平面α上的投影P′是△ABC的( )
A．内心 C．重心
B．外心 D．垂心
解析：由于PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故点P′是△ABC的外心．
答案：B
4．(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角
的正弦值等于( )
2
A. 3C.
2
3
B.
3
3
1D. 3
解析：法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面
BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.
在Rt△CDH中，sin∠CDH＝
2
3
CH2＝. CD3
法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，
uuuruuur则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝(0,1,0)，DB＝uuuur(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥
uuuruuuur?x＋y＝0，?DB，n⊥DC1，所以有?
??y＋2z＝0，
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1的夹角为θ，
uuuruuur?n·DC?2
uuur?＝. 则sin θ＝|cos〈n，DC〉|＝??|n||DC|?3
答案：A
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
uuuur标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1是平面A1BD的一个法向量．
uuuuruuuurAC1＝(－1,1,1)，BC1＝(－1,0,1)． uuuuruuuur1＋16cos〈AC1，BC1〉＝＝.
3×2
3
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为
6
. 3
答案：
6 3
6.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1
的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为________．
解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(3，－1,0)，B1(3，1,2)，D?
1??3
，－，2?，
2??2
uuuruuur31
则CD＝(，－，2)，CB1＝(3，1,2)，
2
2
设平面B1DC的法向量为
uuur??n·CD＝0，
uuurn＝(x，y,1)，由???n·CB1＝0，
解得n＝(－3，1,1)．
uuur?31?
又∵DA＝?，－，－2?，
2?2?uuur4
∴sin θ＝|cos〈DA，n〉|＝.
5
4答案：
5
7．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2AA1，点D是A1B1的中点． 求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值．
