选修4-4 坐标系与参数方程专题训练（带答案）
1.（2013年乌鲁木齐二模 第23题）
已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C的极坐标方程为??4sin?，直线l过点P?1,1?
（Ⅰ）化曲线C的方程为普通方程。
（Ⅱ）求直线l和曲线C的两个交点到点A的距离之积． 解：
（Ⅰ）由??4sin?，得???4?sin?，即x2?y2?4y=0，
∴圆C的直角坐标方程为x2?y2?4y=0． …5分
（Ⅱ）过点P?1,1?的参数方程为??x?1?tcos?（t为参数），
y?1?tsin??2将其代入圆C的方程x2?y2?4y=0，得t?2?cos??sin??t??=0．
∴t1t2?2，故PA?PB?2．
2. （2012届高考数学仿真模拟卷——新课标版） 已知直线l过点P(?1,2)，且倾斜角为（1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆交与M、N两点，求PM?PN的值。
2??，圆方程为??2cos(??)。 331?x??1?t?2?解：1）?(t为参数）
?y?2?3t?2? （2）??cos??3sin?
?2??cos??3sin?
x2?y2?x?3y?0
把l的参数方程带入圆的普通方程，得t?3?23t?6?23?0 ∴t1t2?6?23，故PM?PN= 6?23
3.自创题
2???x?4cos?在直角坐标系中，圆C1的参数方程为?（?为参数），直线l的直角坐标方程为
y?4sin??x+y-2=0.
(1)若在圆上有一点M ，过M作x轴的垂线，垂足为N，则求线段MN的重点轨迹方程C2。 (2)求曲线C2到直线l的最小距离。
解：(1) 圆C1： ??x?4cos?（?为参数）上的点M?4cos?,4sin??y?4sin?垂足N?4cos?,0? ?，
?x?4cos?（?为参数），C2的轨迹是焦点在x轴的椭圆。 ?C2：?y?2sin??(2)设曲线C2上有动点P4cos?,2sin???，则P到直线x+y-2=0.的距离为
d?
25cos??????22?10cos??????2，最小距离为10?2。
4.(2011·福建高考题)
?x＝3cosα，在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为?
?y＝sinα
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴π
4，?，判断点P与直线l的位置关系； 正半轴为极轴)中，点P的极坐标为??2?(2)设点Q是曲线C上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：
π??
(1)把极坐标系下的点P?4，2?化为直角坐标系，得P(0,4)．
??因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)从而点Q到直线l的距离为：
|3cosα－sinα＋4|＝2
π??
2cos?α＋6?＋4
??
2
d＝ π??
＝2cos?α＋6?＋22，
??
π??
由此得，当cos?α＋6?＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.
??
5.自创题
已知曲线C1:??x??4?cost?x?8cos?（t为参数）,C2:的参数方程?（?为参数）
?y?3?sint?y?3sin?(1)化C1,C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线. (2)若C1上的点P对应的参数为t??2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3:
?x?3?2t（t为参数）距离的最小值. ??y??2?t
22? 4, 3 ) ，半径为1的圆 解：(1) C1：?x?4???y?3??1 表示圆心为 (
x2y2??1 表示焦点在x 轴的椭圆 C2：
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(2) P ( ? 4, 4 ) , Q为C2上的动点,设Q?8cos?,3sin??
3PQ中点M??2?4cos?,2?sin?2?
C3的普通方程为x?2y?7?0
点M到直线C3的距离d?5cos??????105?5cos??????2
可知M到直线C3距离的最小值为5。
6.
2013年高考课标Ⅰ卷（文）
?x?4?5cost,已知曲线C1的参数方程为?(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半
y?5?5sint?轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为??2sin?. (Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(??0,0???2?). 解:(1)将??x?4?5cost,消去参数t,化学普通方程(x?4)2?(y?5)2?25,
?y?5?5sint22即 C1： x?y?8x?10y?16?0,
?x?pcos?,将?代入x2?y2?8x?10y?16?0得 ?y?psin??2?8?cos??10?sin??16?0;
所以C1极坐标方程为
?2?8?cos??10?sin??16?0.
(2)C2的普通方程为x?y?2y?0,
22??x=1，?x=0，?x?y?8x?10y?16?0，解得?或? ?22y=2，y=2.????x?y?2y?022所以C1与C2交点的极坐标为(2,
?),(2,). 42?
