??x)2?(D??x)(D??x)?D?(D??x)?x(D??x) 例如，(D?2?D?x?xD??x2?D?2?2xD??x2?1 ?D最后一步用到了的关系式 3. 算符的本征函数和本征值
?，其本征方程定义为 对于一个算符A?f?af a为常数 (1-5-2) A?的本征值，f是与该本征值对应的本征函数。 其中，常数a称为算符Ad2dxd2dx 如，
(5e)?4?(5e)，22x2xsinx??1?sinx，所以，5e和 sinx都是算符d/dx的本征函数，22x22
本征值分别为4和-1。
?是一个线性算符，根据线性算符的性质，容易进一步证明：如果f是一个本征值为a的本征函 若A数，则该函数与任意常数c相乘给出的cf必然也是本征函数，本征值仍是a，
?[cf]?cA?f?caf?a[cf] A但是，f和cf彼此不是线性独立的。如果f是波函数，则f和cf描述的是同一个状态。对一个算符，
我们关心的是彼此独立的本征函数。
线性独立的定义是：对于一组函数f1, f2, ?, fn，如果要让下式成立
c1f1?c2f2?...?cnfn?0 所有系数ci都必须等于0，这种情况下称f1,f2,?,fn彼此线性独立(或线性无关)，否则就是线性相关的。
如，因为-5.2×f+1×5.2f=0，f和5.2f就是线性相关的，如果可归一化，乘以归一化系数后，这两个函数将变成同样的形式，所以我们说，如果f是波函数的话，f和5.2f描述的是同一个状态。
上式也可以改写成
fk??cifi ci?kkn这表示在一组线性无关的函数中，每个函数都不能表示成其它函数的线性组合。 4．本征值的简并
可能有多个彼此线性独立的本征函数对应着相同的本征值，这种情况下称该本征值是简并的。
对应于同一本征值的线性独立的本征函数的数目叫做简并度。在非简并的情况下，简并度为1。 关于简并有一个重要定理：线性算符的具有相同本征值的本征函数的任意线性组合，仍是该算符的本征函数，并且本征值相同。
?的n个线性独立的本征函数，而且本征值均为a，即a是n重简证明：设f1,f2,?, fn是算符A并的
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?f?af, A?f?af,?, A?f?af A1122nn 对这些本征函数进行任意的线性组合
f?c1f1?c2f2?...cnfn
其中系数ci为任意常数。根据线性算符的性质，有
?f?A?(cf?cf?...cf) A1122nn?f?cA?? ?c1A12f2?...cnAfn
?c1af1?c2af2?...cnafn
?a(c1f1?c2f2?...cnfn)
?af
?的具有本征值a的本征函数。 所以，简并本征函数的任意线性组合f也是A5. 厄米算符 厄米算符的定义1：
?是一个线性算符，f是品优函数，如果 设A*??f)*d? fd???f(A?fA?是厄米算符。 则称线性算符A厄米算符的定义2：
?是一个线性算符，f,g是品优函数，如果 设A*??f)*d? gd???g(A?fA?是厄米算符。 则称线性算符A定义2实际上是定义1的推论。这里略去证明。 厄米算符的性质：
① 性质1：厄米算符的本征值必然是实数。
?f?af，根据厄米算符的定义1 证明：设A - 18 -
*??f)*d? ? ?f*afd???f(af)*d? fd???f(A?fA? (a?a*)?f*fd?=0
排除f=0的情况，积分?f*fd??0，所以
a?a*?0或a?a*? a是实数
② 性质2：厄米算符的本征函数是、或可以选择是正交的。 证明：1) 设f和g是对应于不同本征值的两个本征函数
?f?af，A?g?bg A 根据厄米算符的定义2
?gd???g(A?f)*d? ? ?f*bgd???g(af)*d? ?f*A? (b?a*)?f*gd??0
由于本征值必然是实数，并且两个本征函数的本征值不同，
b?a*?b?a?0 ? ?f*gd??0
即对应于不同本征值的本征函数f和g正交
2) 设f和g是对应于相同本征值的两个独立的本征函数，即，本征值是简并的
?f?af，A?g?ag Af和g一般来说不一定是正交的。但是，在介绍本征值的简并时，我们已经指出，
对应于同一本征值的本征函数，它们的任意线性组合仍然是该算符的具有相同本征
值的本征函数。令
?1?f，?2?g?cf
其中c是一个常数。?1和?2彼此是线性独立的，而且本征值都是a，选择它们替代f?的两个本征值为a的独立本征函数。 和g来表示A现在求?1和?2正交时系数c的取值
**??1?2d??0 ? ?f(g?cf)d??0
? ?f*gd??c?f*f?0
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f*gd??? c?*
?ffd? 这样就确定了?2中的系数c，该系数使?1和?2正交，这一步骤称为施密特正交化。
所以，对应于简并本征值的本征函数可以选择是正交的。
§1-6算符和量子力学
1. 量子力学算符和物理量的对应关系
量子力学的基本假设之一：经典力学中的每个物理量，都有一个量子力学算符与之对应，量子力学算符都是厄米算符。
量子力学算符和物理量的对应关系如下：
① 用笛卡儿坐标q(即x,y,z)和相应的线动量分量pq作为自变量，写出物理量的经典力学表达式。
② 对物理量的经典力学表达式做如下代换：
??q? 笛卡儿坐标q ? q?q? 相应的线动量pq ? p?? i?q??x? 例如，x ? x?x? px ? p?? i?x2??22? )???2i?x?x22?x px ? p?(2. 量子力学算符的本征值和本征函数
?，A?的本征值ai以及相应的本征函数?设A是一个物理可观测量，对应的量子力学算符为Ai用如下的本征方程定义
???a? i=1,2,3? (1-6-1) Aiii?的一个本征值。或本征值的意义：在任何一次实验观测中，物理量A的观测结果必定是算符A者说，本征值是物理量的许可值。
本征值可能是连续的，也可能是分立的(量子化的)。如下图所示，图中示意性地标出了氢原
?的本征值：一条水平线代表一个本征值, 阴影表示在该范围内本征子哈密顿算符(能量算符)H值连续变化。正的本征值是连续的，表明能量为正时可以任意取值；负的本征值是无限多个分
*
立的值，能量为负时是量子化的，只能取这些分立值中的一个。
*
电子的动能(正值)大于势能(负值，核的静电吸引能)的绝对值时，不受核的束缚，氢原子具有正的能量，称为非束缚态，这类似于经典力学中彗星相对于太阳运动的状态；我们通常只考虑束缚态，即电子在核的束缚下运动，体系的能量为负值。
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