图1 直杆的太阳影子长度的变化曲线
5.2问题二模型的建立及求解 5.2.1模型的建立 （1）坐标变换
第二问的附件虽然在直杆所在的地平面处建立了正交分解的x-y轴，但并没有指明坐标轴和地理正北方向的夹角。据此分析，可设θ为地平面坐标系的x轴正向与正东方向的夹角。对x和y进行下式给出的变换，可得直杆顶点在新坐标系下的投影坐标。 变换如下：
?x'?xcos??ysin? ?y'?ycos??xsin??(6)
（2）杆影端点移动轨迹
关于杆影端点移动轨迹的周年变化规律如图2所示，该图描绘了一年内不同日期的轨迹。夏至日和冬至日是太阳直射点移动方向发生转换的日期，春分日和秋分日是直射点的南北半球位置转换的日期。因此，选择的这几个日期具有较强的代表性。在图中，AA′、CC′、EE′依次表示冬至日、两分日、夏至日的轨迹，BB′、DD′表示介于二分二至日的轨迹（如立冬和立夏），该图清晰的反映除
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两分日之外，其余日期的轨迹图都是双曲线中的一条。
图2 杆影端点移动轨迹的周年变化规律
而对于具体的某一天中直杆阴影顶点的运动轨迹的描绘，则可以借助Analemmatic日晷的模型来描绘。在这种日晷的模型中，日晷采用了垂直的指时针，它的时间线是赤道日晷的时间线在地平面的投影水平方向指示东西轴，垂直方向指向南北轴，投影日晷的位置沿着短轴移动，如图3所示。因此具有时间一致对应关系的阴影轨迹如果投影到水平平面上将得到一个二次曲线，二次曲线的对称轴位于南北方向指示轴上。轨迹的形状与当地的纬度以及太阳直射点的纬度即太阳赤纬有关，而太阳赤纬又与日期相关，故轨迹的形状与当地的纬度和日期相关联。
图3 日晷模型及影子变化规律变化规律
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（3）太阳方位角和太阳高度角
有了（1）得到的新坐标，就可以用x'来表示太阳方位角的正切值。由天文y'学的相关知识[3]，可以得到以下等式：
cosA?sinh?sinφ-sinδcosh?cosφ
A为太阳方位角，并且
tanA?x'y'
又因太阳高度角公式为
sinh?sinφ?sin δ?cosφ?cosδ?cosT以及
T?????120°?15°?t?12?????15°?180° 联立化简可得到如下等式：
xcos??ysin?cosycos??xsin???sinTacost?b
其中
a?sin?cos?
b?sin?cos?
5.2.2模型的求解
根据表格附件一做出杆影的轨迹图如下
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(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
图4 附件一杆影顶点轨迹图
对上述结果进一步化简可得：
1?Ytan??sin?cotT?tan?cos?cscT
Y?tan?(14)
其中
Y?xy
(15)
上式建立了阴影顶点坐标与时间（t）、经度（ω）、纬度（φ）以及所用坐标系与地理坐标系之间偏角（θ）之间的关系模型。由于附件已给出直杆阴影顶点在每一时刻的实际坐标，可以将其它待求的量作为未知参量，基于非线性最小二乘法在Matlab中对Y和t进行拟合，结合地理资料选取合适的初值求得直杆可能的地点。我们得到了（104.4249°E，15.65784°N）、（33.0454°E，16.7577°N）等地点。
5.3问题三模型的建立与求解 5.3.1模型的建立
基于问题二的模型，我们很自然地得出问题三的模型：
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