⑤a＝3b，要使经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，则此直线与横轴平行，又
f(x)的振幅为|2b|>|b|，所以直线必与f(x)图象有交点．故⑤不正确．
18．解 (1)由x2
－2x－8≤0得－2≤x≤4， 即p：－2≤x≤4，
记命题p的解集为A＝[－2,4]， 命题q的解集为B＝[2－m,2＋m]，
p是q的充分不必要条件，∴AB，
∴???
2－m≤－2，?m≥4.
?
2＋m≥4，
解得(2)①若p真q假，则??
?
－2≤x≤4，??x<－3或x>7，
无解，②若p假q真，则???
x<－2或x>4，??－3≤x≤7，
解得－3≤x＜－2或4＜x≤7.
综上得x的取值范围为[－3，－2)∪(4,7]．
19．解 (1)由a⊥b得a·b＝0，所以－2x＋3－x2
＝0，即x2
＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3.故x的值为1或－3. (2)由a∥b得x(－2x＋3)＝－x， 即2x2
－4x＝0, 解得x＝0或x＝2.
当x＝0时，a－b＝(－2,0)， 所以|a－b|＝2；
当x＝2时，a－b＝(2,4)， 所以|a－b|＝25. 故|a－b|＝2或25.
20．解 (1)根据正弦定理可知 (a＋b)(a－b)＝c(c－b)， 整理得b2
＋c2
－a2
＝bc，
cos A＝b2＋c2－a2由余弦定理的推论得2bc＝1
2
，
∵0 3 . 9 π22222 (2)根据余弦定理a＝b＋c－2bccos ＝b＋c－bc， 3∵b＋c≥2bc且a＝4，∴16≥2bc－bc＝bc，即bc≤16. 1π3 ∴△ABC面积S＝bcsin ＝bc≤43，当且仅当b＝c＝4时等号成立． 234故△ABC面积S的最大值为43. 21．解 (1)f(x)＝3sinxcosx－cosx＝π?1?＝sin?2x－?－. 6?2?∵ω＝2， ∴T＝π，即f(x)的最小正周期为π， πππ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 262ππ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 63 ππ??∴f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋? 63??(k∈Z)． 2 2 2 311 sin2x－cos2x－ 222 ?π?(2)∵x∈?0，?， 2?? ππ5π ∴－≤2x－≤， 666πππ 当2x－＝，即x＝时， 623 f(x)取最大值， ππ 当2x－＝－， 66 即x＝0时，f(x)取最小值－1. 60??v?3?603v60 22．解 (1)由题意，下潜用时 (单位时间)，用氧量为???＋1?×＝＋ (升)， v??10??v50v水底作业时的用氧量为10×0.9 ＝9(升)， 60120 返回水面用时＝ (单位时间)， 2 12 vv2 10 120180 用氧量为×1.5＝(升)， vv3v240 因此总用氧量y＝＋＋9，(v>0)． 50v3v240 (2)由(1)得y＝＋＋9，(v>0)， 50v6v2403 ∴y′＝－2＝ 50v32 2 v3－2 000 ， 2 25v令y′＝0得v＝102， 当0 综上，若0 23．解 (1)因为f(x)＝x－6x＋9x－3， 所以f′(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)． 令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝3. 则f′(x)，f(x)在R上的变化情况为： 2 3 2 3 3 3 33 3 3 3 3 3 x f′(x) f(x) (－∞，1) ＋ 增函数 1 0 1 (1,3) － 减函数 3 0 －3 (3，＋∞) ＋ 增函数 所以当x＝1时，函数f(x)有极大值1， 当x＝3时，函数f(x)有极小值－3. (2)假设函数f(x)在(3，＋∞)上存在“美丽区间”[s，t](3 ??f所以? ?f? s＝s，t＝t， ??s－6s＋9s－3＝s， 即?32 ?t－6t＋9t－3＝t，? 32 11 也就是方程x3－6x2 ＋9x－3＝x有两个大于3的相异实根． 设g(x)＝x3 －6x2 ＋8x－3(x>3), 则g′(x)＝3x2－12x＋8. 令g′(x)＝0，解得x1＝2－ 2 3 3<3， x2＝2＋ 2 3 3>3. 当3 所以函数g(x)在区间(3，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增． 因为g(3)＝－6<0，g(x2) g(5)＝12>0， 所以函数g(x)在区间(3，＋∞)上只有一个零点． 这与方程x3 －6x2 ＋9x－3＝x有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数f(x)在(3，＋∞)上不存在“美丽区间”． 12
