验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为??＋1(升)，在水
?10?底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时
2间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)． (1)求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
23．已知函数f(x)＝x－6x＋9x－3. (1)求函数f(x)的极值；
(2)定义：若函数h(x)在区间[s，t](s 3 2 ?v?3 vh(x)的“美丽区间”．试问函数f(x)在(3，＋∞)上是否存在“美丽区间”？若存在，求出 所有符合条件的“美丽区间”；若不存在，请说明理由． 5 答案精析 1．A 2.A 3.D 4.C 5.D 6.B 7．C [如图画出函数f(x)的图象， 即y＝lnx和y＝e的图象，y＝e在y轴右侧的部分去掉， 再画出直线y＝－x，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图象有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程f(x)＝－x－a有两个解， 也就是函数g(x)有两个零点， 此时满足－a≤1，即a≥－1，故选C.] 8．A [如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， xx 1??2??则A(0,1)，B(－1,0)，C(1,0)，设D(x,0)，则E?x＋，0??－1≤x≤?. 3??3??→ 据此有AD＝(x，－1)， → ??AE＝?x＋，－1?， 3 ? ? →→22?1?28则AD·AE＝x＋x＋1＝?x＋?＋. 3?3?9 1814→→→→ 据此可知，当x＝－时，AD·AE取得最小值；当x＝－1或x＝时，AD·AE取得最大值， 3933→→?84?所以AD·AE的取值范围是?，?.] ?93?3 9．D [∵sin(α＋β)＝， 52 sin(α－β)＝－， 3 6 2 ??sinαcosβ＋cosαsinβ＝3 5，∴???sinαcosβ－cosαsinβ＝－2 3 ， 解得sinαcosβ＝－130，cosαsinβ＝1930， sinα1 又tanαcosαsinαcosβ－30tanβ＝sinβ＝cosαsinβ＝19 cosβ30＝－1 19 .故选D.] 10．D [根据(a2 ＋b2 －c2 )·(acosB＋bcosA)＝abc和余弦定理， 得到(a2 ＋b2 －c2) ?222222 ?? a×a＋c－b＋b×b＋c－a2ac2bc??? ＝(a2 ＋b2 －c2 )·c＝abc， 消去c得到a2 ＋b2 －4＝ab， 所以(a＋b)2－4＝3ab≤3× a＋b2 4 ， 解得0 是定值，不妨令t＝f(x)－x3 ，则f(x)＝x3 ＋t 又f(t)＝t3 ＋t＝2，整理得(t－1)(t2 ＋t＋2)＝0， 解得t＝1， 所以有f(x)＝x3 ＋1，所以f(x)－f′(x)＝x3 ＋1－3x2 ＝2，令F(x)＝x3 －3x2 －1 可得F(3)＝－1＜0，F(4)＝15＞0， 即F(x)＝x3 －3x2－1的零点在区间(3,4)内， 所以f(x)－f′(x)＝2的一个根所在的区间是(3,4)．] 12．C [∵扇形AOB的半径为1， ∴|→ OP|＝1 ∵OP⊥OB，∴→OP·→ OB＝0 ∵∠AOB＝2π3，∴∠AOP＝π 6 ∴→PM·→PN＝(→PO＋→OM)·(→PO＋→ ON) ＝→PO2＋→ON·→PO＋→OM·→PO＋→OM·→ON 7 5π→2π3??→→?1?＝1＋|OM|cos＋|OM|·|ON|cos≤1＋0×?－?＋0×?－?＝1，故选C.] 63?2??2? ?55?13．－2 14.?，? 15.5 16.3 ?42? 17．①②③ 解析 f(x)＝asin2x＋bcos2x＝±a＋bsin(2x＋φ)，a＋b≠0， ππ3bπ??π????π??又?f???＝asin＋bcos＝a＋，由题意f(x)≤?f???对一切x∈R恒成立，则x＝2222??6??3322??6??是函数f(x)的对称轴，则2·π6＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，所以φ＝π 6＋kπ(k∈Z)， 从而tanφ＝tan??π?6＋kπ???＝ba＝33， 则a＝3b. 所以f(x)＝3bsin2x＋bcos2x ＝2bsin??π? 2x＋6???. f? ?11π?12???＝2bsin??11π? 6＋π6???＝0， 故①正确； ②???f??5π?12??????＝???2bsin??5ππ?6 ＋6?????? ＝|2bsinπ|＝0， ???f??π?5??????＝???2bsin??2π?5＋π6?????? ＝??17π?2bsin30??? ＝??13π?2bsin30??? >0， 所以???f??5π?12??????＜???f??π?5?????? ，故②正确； ③f(－x)≠±f(x)，故③正确； ④f(x)＝3bsin2x＋bcos2x ＝2bsin??π?2x＋6???，b>0， 由2kπ－π2≤2x＋ππ 6≤2kπ＋2， 知kπ－ππ 3≤x≤kπ＋6 ，故④不正确； 68
