第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 平面向量的应用练
习 理
[A组2基础达标练]
1．[20152贵阳期末]对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A
解析 由题意可得，a＋b＝0?b＝－a?a∥b，反之不能作出推导，∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
→→
2．[20162山西质监]已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量→
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
OC等于( )
→→21
A.OA－OB 33
→答案 C
→→
→
→
→
→
→
＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形 C．等边三角形 答案 A
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解析 (BC－CA)2(BD－AD)＝(BC－CA)2BA＝0，所以BC2BA＝CA2BA，所以acosB＝
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
→
→→
→→
→→
→
→
→→
→→
→
→
解析 因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋
→
C．2OA－OB
→→
12B．－OA＋OB
33
→
→
D．－OA＋2OB
OB＝0，所以OC＝2OA－OB，故选C.
3．[20162皖南八校联考]已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC－CA)2(BD－AD)
bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．
→
A．x＋y≤－2 C．x＋y<－1 答案 C
→
→
→
→
→
→→
解析 依题意，作OD＝xOA，OE＝yOB，则有OC＝OD＋OE.由平行四边形法则知OC为平行
1
→→
B．－2≤x＋y<－1 D．－1 4．已知O是锐角△ABC的外心，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则( ) → 径)，即x＋y<－1，选C. →→ 四边形ODCE的对角线，于是有|OD|＋|OE|>|OC|，－(x＋y)r>r(其中r为△ABC的外接圆半 → 为( ) 2A. 53C. 10答案 A → → 2 →→ 5．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA＋4OB＋5OC＝0，则△AOC的面积 1B. 26D. 5 → 2, → 2 → 2 →→→ 2 解析 依题意得，(3OA＋5OC)＝(－4OB)9OA＋25OC＋30OA2OC＝16OB，即34＋30cos→→ 3412∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝1－cos∠AOC＝，△AOC的面积为|OA||OC|2sin 5522 ∠AOC＝，选A. 5 6．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( ) A．a⊥b C．a⊥(a－b) 答案 B 解析 由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－ B．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta2b＋(2a2b－1)≥0对任意的t∈R都成立， 因此有(－2a2b)－4(2a2b－1)≤0，即(a2b－1)≤0，得a2b－1＝0，故a2b－b＝b2(a－b)＝0，故b⊥(a－b)，故选B. 7．[20152洛阳期末]在平面直角坐标系xOy中，点A与点B关于y轴对称，若向量a→ 22 2 2 2 2 → ＝(1，k)，则满足不等式OA＋a2AB≤0的点A(x，y)的集合为( ) A．{(x，y)|(x＋1)＋y≤1} B．{(x，y)|x＋y≤k} C．{(x，y)|(x－1)＋y≤1} D．{(x，y)|(x＋1)＋y≤k} 答案 C → → 2 2 2 2 2 2 2 2 2 →→ 解析 由条件得B(－x，y)，所以OA＝(x，y)，OB＝(－x，y)，所以AB＝(－2x,0)，所 → 2 2 2 2 以OA＋a2AB＝x＋y－2x≤0，即(x－1)＋y≤1，故选C. → → → → → 8．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且|BO|＝3|CO|，当AO＝xAB＋yAC时，则x 2 －y＝________. 答案 －2 →→→→→→3313 解析 AO＝AB＋BO＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，∴x－y＝－2. 2222 → → 3 y＝1，函数f(m)＝|CA－mCB|的最小值为，则|CO|的最小值为________． 2 1答案 2 →→ → 解析 如图，△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，记NA＝CA－mCB，则当N在D处， → → → → 9．[20162温州十校联考]在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CO＝xCA＋yCB且x＋ →→ →→ →→→ 33 即AD⊥BC时，f(m)取得最小值，因此|AD|＝，容易得到∠ACB＝120°.∵CO＝xCA221 ＋yCB且x＋y＝1，∴O在边AB上，∴当CO⊥AB时，|CO|最小，|CO|min＝. 2→ → → x≤0?? 10．[20162河北五校联考]设点P(x，y)满足条件?y≥0 ??y≤2x＋2 → → ，点Q(a，b)(a≤0，b≥0) 满足OP2OQ≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是________． 1 答案 2 3 → →→ → 解析 不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如图阴影部分所示．因为OP2OQ＝ax＋by，所以由OP2OQ≤1得：ax＋by≤1.设目标函数为：z＝ax＋by，要使ax＋by≤1恒成立，一定有： ?－1?3a＋03b≤1??03a＋23b≤1?a≤0??b≥0 ? ??b≤1 2?a≤0??b≥0 a≥－1 －1≤a≤0?? ??1 0≤b≤?2? ，此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1， 11 宽为的矩形，面积为. 22 11．[20152洛阳二练]在△ABC中，已知sin(A＋B)＝sinB＋sin(A－B)． (1)求角A； →→ → (2)若AB2AC＝20，求|BC|的最小值． 解 (1)∵sin(A＋B)＝sinB＋sin(A－B)， ∴sinAcosB＋cosAsinB＝sinB＋sinAcosB－cosAsinB， ∴2cosAsinB＝sinB. 1∵sinB>0，∴cosA＝， 2π ∵0 → 2 →→ → 2 → 2 → 2 →→→ 2 → 2 →→→→ (2)|BC|＝|AB－AC|＝AB＋AC－2AB2AC＝|AB|＋|AC|－2AB2AC≥2|AB|2|AC|－ →→ →→ 40，(当且仅当|AB|＝|AC|时取等号) 1 ∵AB2AC＝|AB|2|AC|2cosA＝|AB||AC|＝20， 2→→ 2 →→→ → → ∴|AB|2|AC|＝40， ∴|BC|≥40，|BC|≥210， → ∴|BC|的最小值为210. 4
