b6?a4，求数列{bn-an}的前n项（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列?bn?满足b4?a1，和Sn．
【答案】（Ⅰ）an?4nn?N?*（Ⅱ）S?；
n1?2n?1??2n2?2nn?N*
2??【解析】（Ⅰ）把已知条件代入等差数列的通项公式中，即可求出首项与公差，得到通项公式；
（Ⅱ）由?an?的通项公式得到b4，b6 ，代入等比数列的通项公式中得到b1和q，求出数列?bn?，即可得到数列?bn?an?的通项公式，利用分组求和法即可得到数列
?bn?an?的前n项和。
【详解】
?a1?d?8,?（Ⅰ）设数列?an?的公差为d，由已知?a1?2d?a1?4d?4?a1?d?，
?a1?4,*解得?，所以an?4n?n?N?．
?d?411??b1?，?b1??，?b4?4,?（Ⅱ）设数列?bn?的公比为q，由已知?，解得?， 2（舍）2或?b?16?6???q??2?q?2所以bn?1n?1?2?2n?2，所以bn?an?2n?2?4n． 2Sn?2?1?4?20?8?21?12???2n?2?4n ?2?1?20?21???2n?2?（4?8?12???4n）
??????????11?2n?4?4n?n
?2?1?22???1n12?1?2n2?2n?2n?1??2n2?2nn?N*． 22????【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，以及数列求和中的分组求和法，考查学生转化的思想以及计算能力，属于中档题。
16．在△ABC中，AC=4，BC=43，?BAC?（Ⅰ）求?ABC的大小；
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2?． 3（Ⅱ）若D为BC边上一点，AD?【答案】（Ⅰ）?ABC?7，求DC的长度．
?6；（Ⅱ）DC?33，或DC?3
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得到sin?ABC，在结合三角形内角的性质即可?ABC的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得?C的大小，在?ADC中，利用余弦定理即可求出DC边的长。 【详解】
（Ⅰ）在?ABC中，由正弦定理得
BCAC?，
sin?BACsin?ABC所以
4sinsin?ABC?2?3?1．
243因为?BAC?2?????，所以?ABC??0，?，所以?ABC?．
63?3?（Ⅱ）在?ABC中，?Cp-2ppp-=．
366在?ADC中，由余弦定理AD2?AC2?DC2?2AC?DC?cos?C， 得7?16?DC?8DC?cos2?6，即DC2?43DC?9?0，
解得DC?33或DC?3．经检验，都符合题意． 【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于基础题。
17．某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如图：《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格． 等级 测试数据
（Ⅰ）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；（Ⅱ）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；
（Ⅲ）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为X1，S12，高二学生测试数据的
2平均数和方差分别为X2，S2，试估计X1与X2、S1与S2的大小．（只需写出结论）
22优秀 良好 及格 不及格 [90，100] [80，89] [60，79] [0，59] 第 10 页 共 16 页
【答案】（I）
342 ；（II）；（III）X1＞X2，S12＜S294【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知高二年级学生样本中合格的学生数为15，即可计算出从该校高二年级学生中随机选取一名学生体质健康合格的概率；
（Ⅱ）由茎叶图可知高一年级、高二年级等级为优的学生各有三个，用列举法写出选取的两名学生构成的基本事件，即可计算出选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图的分布情况即可得到X1与X2、S1与S2的大小。 【详解】
（I）高二年级学生样本中合格的学生数为：3?4?4?4?15， 样本中学生体质健康合格的频率为
22153?． 204所以从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为
3． 4 设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93，94，96的学生分别为a1，a2，a3， （II）
高二年级测试数据是90，95，98的学生分别为b1，b2，b3． 选取的两名学生构成的基本事件空间为：
{?a1，b1?，b2?，b3?，b1?，b2?，b3?，b1?，b2?，b3?}?a1，?a1，?a2，?a2，?a2，?a3，?a3，?a3，，总数为9，
选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为
{?a1，b3?，b3?，b3?}，总数为4， ?a2，?a3，b2?，?a3，所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生， 选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为
2（III）X1＞X2，S12＜S2．
4． 9第 11 页 共 16 页
【点睛】
本题考查茎叶图的分析、概率的求法，考查列举法、古典概型的基础知识，属于基础题。18．AB=2，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，PC?PD?2，E为PB中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC； （Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积． 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）
1 6【解析】（I）连结BD交AC于F，连结EF，利用中位线可证明PD//EF，即可说明PD//平面ACE；
（II）由平面PCD?平面ABCD，底面ABCD为矩形可得：BC?PD，根据勾股定理可得：PD?PC，由此证明PD?平面PBC；
（III）取CD的中点M，连结PM，可证明PM?平面ABCD，由于E为PB 中点，则过E点作平面ABCD的高等于
11PM，所以VE?ABC?VP?ABC，即可求出三棱锥22E?ABC 的体积
【详解】
（I）连结BD交AC于F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，
所以F为BD中点．又因为E为PB 中点，所以PD//EF．因为PD?平面ACE，
EF?平面ACE，所以PD//平面ACE．
（II） 因为底面ABCD为矩形，所以BC?CD．
又因为平面PCD?平面ABCD，平面PCDBC?平面ABCD，∩平面ABCD?CD，所以BC?平面PCD．因为PD?平面PCD，所以BC?PD． 因为PC?PD?2，CD?AB?2，所以PC2?PD2?CD2，即PD?PC．
因为BCPC?C，BC，PC?平面PBC， 所以PD?平面PBC．
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