g3.1062空间平面与平面一.知识回顾:
没有公共点——两平面平行 1.两个平面的位置关系有两种： 有一条公共直线——两平面相交
2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.
a????定理的模式：b???
?ab?P???//?a//???b//??? ??abc
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相
平行．
推论模式：ab?P,a??,b??,a?b??P?,a???,b???,a//a?,b//b???//?
3.两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
4. 两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
【附】
1. 证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：
a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β．
（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β．
（4）平行于同一个平面的两个平面平行 .?//?,?//???//?
2. 两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为： “面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β．
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为： “面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证 线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β． （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（课本P38练习第3题） （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（课本P38习题五4） 5．两个平面垂直的定义：
相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 6．两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
7．两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。 二基本训练：
1.已知平面?//平面?，P是?,?外一点，过点P的直线m与?,?分别交于点A,C，过点P的直线n与?,?分别交于点B,D，且PA?6，AC?9，PD?8，则BD的长为（ B）
24 (C)14 (D)20 52．空间四边形ABCD的两条对角线AC?4，BD?6，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围
(A)16 (B)24或
是 ．答案：（8，12）
3．已知PA?正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连结PB,PC,PD,AC,B，D则互相垂直的平面有 （ ）
(A)5对 (B)6对 (C)7对 (D)8对
4．平面?⊥平面?，?
?=l，点P??，点Q?l，那么PQ?l是PQ??的（ ）
(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(A)垂直 (B)平行 (C)相交 (D)以上三种可能都有
5．若三个平面?,?,?，之间有???，???，则?与? （ ）
6．已知?，?是两个平面，直线l??，l??，设（1）l??，（2）l//?，（3）???，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
三．例题分析：
例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形， ∴B1D1∥BD，
又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C． 而A1D∩BD＝D，
∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1． 取BB1中点G，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD． ∴AG∥DF． ∴B1E∥DF． ∴DF∥平面EB1D1． ∴平面EB1D1∥平面FBD．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
例2．在四面体ABCD中，AB?3,AC?AD?2，且?DAC??BAC??BAD?60，
A 求证：平面BCD⊥平面ADC
E D A
G B A1 D1 B1 F C C1
B D
C
例3．如图，?ABC为正三角形，EC?平面ABC，BD//CE，且CE?CA?2BD，M是EA的中点， 求证：（1）DE?DA；（2）平面BDM?平面ECA；（3）平面DEA?平面ECA。 E
D
M
B C
A
例4三棱锥P?ABC中，PB?PC,AB?AC，点D为BC中点，AH?PD于H点，连BH，求证：平面ABH?平面PBC
四、作业同步练习g3.1062 空间平面与平面
1、若有平面?与?，且???＝l,???,P??,P?l则下列命题中的假命为（ ） A、过点P且垂直于?的直线平行于?； B、过点P且垂直于l的平面垂直于?； C、过点P且垂直于?的直线在?内； D、过点P且垂直于l的直线在?内；
2、设?、?、?为平面，给出下列条件：（1）a、b为异面直线，a??,b??.?||?,b||?，（2）?内距离为d的平行直线在?内射影仍为两条距离为d的平行线；（3）?内不共线的三点到?的距离相等；（4）???,???；其中能使?||?成立的条件的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3、已知平面?||平面?，P是?、?外一点，过点P的直线m与?、?分别交于A、C，过点P的直线n与?、?分别交于B 、D，且PA=6，AC=9, PD=8;则BD的长为（ ）
A、16 B、24或
24 C、14 D、20 54、如果?||?,AB和CD是夹在平面?、?之间的两条线段，AB?CD，且AB＝2，直线AB与平面?成30?角，那么线段CD的取值范围是（ ）
?2343?A、?? B、
?3,3???2?1,??? C、??1,??23?3?? D、,?????3??3?5、在斜三棱柱ABC?A1B1C1的底面?ABC中，?BAC?90?且BC1?AC,过C1作C1H?底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）
A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、?ABC的内部
6、直线AB与直二面角??l??的两个半平面分别相交于A、B两点,且A、B均不在棱上，如果直线AB与?、?所
成的角分别为?1、?2，那么?1??1的取值范围是
7、正四棱柱AC1的底面边长为3，侧棱长为4，则两平行平面A1C1D与平面AB1C的距离是
8、是?ABC所在平面外一点，A、B、C分别是?PBC、?PCA、?PAB的重心， （1）求证：平面A'B'C'||平面ABC; (2)求S?A'B'C':S?ABC
9、如图，ABCD为矩形，PA?平面ABCD ,M、N分别为AB、PC的中点，
（1） 证明：AB?MN; (2)若平面PDC与平面ABCD成45?角，证明：平面MND?平面PDC。
P'''AMBNDOC
参考答案
???641D A B D B 6、?0,? 7、
7?2?8、证明:分别连PA,PB,PC并延长分别交BC,AC,AB于D,E,F 则D,E,F分别是BC,CA,AB的中点.
,,,PA,2PC,,,?? ? ?AC||FD PD3PF 同理AB||DE, ?平面ABC||平面ABC
,,'''1AB,PA,2??, 又DE=AB (2)? AB||DE, ?2DEPD3,,A,B,1?， 易证?A,B,C,∽?ABC ?AB3 S?A'B'C':S?ABC=1:9
9、10证明：10、（1）连AC，取AC的中点O，连OM，ON，
?N为PC的中点，?ON ||PA，而PA?平面ABCD，?ON?面ABCD
ON?AB，又ABCD为矩形，M为AB的中点，?OM?AB，?AB?平面OMN， AB?MN。
（2） PA?平面ABCD，AD?DC，则PD?DC，故?PDA为平面PDC与的平面角， 即?PDA=45?，?PA=AD=BC，由Rt?BCM?Rt?APM，知MC=MP， 又N为PC的中点， MN?PC， AB?MN，MN?CD，MN?平面PCD， 故平面MND?平面PCD。
