感谢友人相助，仔细查阅后一书的原著，不见spatial sense，取而代之的是spatial visualization（空间想象）、spatial reasoning（空间推理）、Geometric thinking（几何思维）等，揣想可能是前后两书不同作者或研究进展的缘故。
关于空间观念也包括一定的空间想象，有必要再展开作些说明。
一段时间以来，国内数学教育界比较普遍的看法是，空间想象要求过高。所以包括初中在内的义务教育阶段只提培养空间观念。
事实是，想象的难易，很大程度上取决于想象的具体内容：简单的形体，小学生都能想象；复杂的形体，大学生也难以建立表象，更不要说想象。
例如，本人执教?圆柱的认识?时，曾经有过一段有趣的师生对话。
师：想象一下，一个圆柱体直径20厘米，高1厘米。谁来描绘一下这个圆柱？
生：这个圆柱体比较大、很矮，像个圆盘。 师：见过这样的圆盘吗？ 生：没有。
师：能画出图来吗？ 生：可以。 ……
本以为学生会联系生活经验，回答这是一张大饼，实际却无人有此联想；先前教学中出示了圆柱体的教具和一些圆柱形的实物图片，但没有如此特殊的形状。由此推断学生回答时，记忆表象中还没有这样的圆柱变式，他们是凭借想象，对头脑中的圆柱表象（标准图形），依据已知尺寸作了改造。
这是限制在基础知识范围内一般学生都能完成的想象，比较接近表象水平。进一步更典型的想象，在许多灵活应用的练习中常有充分表现。例如：
一根表面积是138平方厘米的长方体木料，相对的两个面是正方形，正方形的边长小于长方体的长。从木料一头锯下一个最大的正方体，剩下部分的表面积为98平方厘米，求锯下的正方体表面积。
习题没有图示，凡能正确解答的学生都能清楚解释?（138－98）÷4×6?每一步计算的结果是什么，表明他们在头脑里想象出了前后表面积的差，是锯下的正方体4个面的面积：
图6
相反的实例，如?马鞍面?即双曲抛物面（图7），很多大学生学过之后画不出草图，观察多媒体演示也无济于事，说明他们并没z 有形成该曲面标准图形的记忆表象。
y 透过诸如此类的例证，不难得出启示：尽管我们将
小学生的空间观念主要定位在空间表象水平上，因为它0 x 切合小学生空间观念的现实水平；但不应排斥空间想象，
因为它在小学生空间观念的邻近发展区内。
图7 二、怎样把握空间观念
1. 教学文件中关于空间观念的阐述
在我国，1963年颁布的《全日制小学算术教学大纲（草案）》，首次在?教学目的?中提出了?具有初步的逻辑推理的能力和空间观念?的要求⑹，但未阐
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述什么是空间观念。
⑺
1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》，以及1986年的《全日制小学数学教学大纲》⑻，都只是提出同样的要求，仍没有加以阐述。
1992年的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》，第一次对培养初步空间观念的要求，作了比较具体的描述：
?使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位臵关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。? ⑼
这段话言简意赅，首先刻画空间观念是指建立什么样的表象，然后说明最主要的表现?识别?与?再现?，至于未尽内涵，则用?培养初步的空间观念?概括。
2001年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，进一步作出更详细的阐述：
?空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位臵关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。? ⑽
这段文字的内容非常丰富，有五层意思。
一是空间想象方面的表现，包括两种转换，即实物形状与几何图形、几何体与三视图、展开图之间的可逆转换。
二是动手操作方面的表现，制作模型、画出图形。 三是空间分析方面的表现，复杂图形的分解、分析。
四是空间描述方面的表现，描述运动变化、位臵关系。描述位臵关系还特别强调?采用适当的方式?。因为即便是在小学阶段，也要先后学习多种方式，即?上下前后左右?、?有序数对?、?方向和距离?、?相交或平行?。
五是用图形描述问题和直观思考，相当于新版课标中的第四个核心词?几何直观?。
空间观念的种种表现，已经列举的相当全面、详尽了。如果说有遗漏的话，那就是图形的抽象、图形的特征或者说性质。
修订后的新版课标，关于空间观念的语段是： ?主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位臵关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。?⑾
很明显，比课标实验稿更为精炼、概括，揣摩意图，可能意在突出重点、削枝强干。
空间想象方面，增加了想象方位和位臵关系，补上了根据特征抽象出几何图形。这里的?特征?显然是指几何特征，这里的?几何图形?可以理解为包括平面图形、立体图形及其三视图、展开图。
空间描述方面，只留描述运动变化，位臵关系不再重复。
动手操作方面，强调画出图形，省略了制作模型。虽说?制作?是培养空间观念的有效手段，但毕竟不是数学教育的?核心?。
用图形描述问题和直观思考，单列了一个核心词?几何直观?予以强调。 删去了空间分析方面的要求，对小学数学来讲，关系不大。
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立足于小学数学实际，课标两个文本中的?想象?，以空间表象水平的再认、再现及联想为主，可以认为主要是日常习惯用语，还不是心理学严格意义上的纯粹空间想象。
2. 空间观念的主要表现
不管把空间观念理解为?空间能力?，还是?表象＋初步的想象?，出于教学实践的需要，教师最为关注的还是空间观念的具体表现。
概括地说，小学生空间观念的表现，主要就是在所学几何形体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的?刺激—反应?。
实际事物 名称←→特征 图形←→变换 图8
以受到实际事物的刺激生成的反应为例。
看到手帕的反应是，这是一个正方形，头脑里出现图形，想到它的四条边相等，四个角都是直角，等等。
提到香港特别行政区的区旗，想到旗面是长方形，五片花瓣可由其中一片旋转得到，有的学生还能看出瓣叶顶端的五个点在同一圆上，等等。
走在某一十字路口，反应出这两条路互相垂直，有时还联想到邻近的某条路与这两条路之一平行，等等。
看到皮鞋盒，头脑里出现它的立体图、三视图、展开图，想到它的面、棱、顶点的特征，等等。
上面例举的?刺激—反应?过程，包含了图形的抽象、图形及其位臵关系的识别、图形性质的再现、图形的运动变化，以及立体图与其三视图、展开图的转换，也反映了表象与词语的双重编码效应。
至于空间观念的描述表达，无非是语言描述、画出图形和符号表示，其实就是数学语言的三种形态。以图形及其特征的描述为例：
A
等腰直角三角形 3 3 △ABC，∠A＝90° 直角边长3厘米 B C AB＝AC＝3cm (单位：厘米)
文字语言 ←→ 图形语言 ←→ 符号语言
图9
描述图形的运动变化和位臵关系也是如此。
三、怎样提升培养空间观念的教学水平
小学阶段是人一生中空间观念发展的重要时期。在这阶段，怎样培养和发展学生的空间观念，是一个理论性和实践性都很强的课题，已有大量的相关论述与经验总结。这里本着?跨越断层，走出误区?的取向，择要表达一些个人见解。
1.借鉴相关理论
长期以来，我们研究?教?远多于研究?学?，随着?教育以学生发展为本? 的观念成为共识，情况开始好转，但心理学理论的应用仍处于教学研究的边缘。
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例如教学体积概念的展示课，从老鼠与大象比大小开始，多媒体课件的演示一个接一个，有等长的两根木棍比粗细、封面面积相等的两本书比厚薄，还有各种各样体积不变的变换实例：
图10
位置变换 分解变换
形状变换(固体) 形状变换(液体)
图11
学生自然是兴趣盎然。可是，所有这些辨析内容，让人联想起幼儿园大班的教学活动。小学五年级学生还需要吗？
皮亚杰关于儿童获得体积守恒观念的实验及其结论告诉我们，受过教育和未受过教育的儿童大约在相同的年龄出现各种守恒能力，实现体积守恒的年龄是11-12岁。检测的方式是：
把纸片假设为湖，上面的方形是小岛，询问儿童在这些不同面积的小岛中盖房子，要能住下相同的人，该如何建。以此考察儿童是否理解通过高度的增加来弥补面积的减少，从而达到体积守恒（房子一样多）。⑿
把测试题改编成如下表述： 在两块地上建房子，一块地200平方米，建了三层楼。另一块地100平方米，要建同样大小、同样多房间的楼，你有办法吗？
在教学体积概念之前，对36名五年级学生（2名10岁，5名12岁，其他皆为11岁）进行检测，所有学生几乎都毫无困难地作出了正确的回答。
可见，教学的起点，应该是在学生已经具有体积守恒观念的基础上，使他们理解?体积?的词义，建立“三维”观念。如：
下面两支铅笔的体积一样大吗？两本书呢？为什么？ 图12
有教师在教学前了解到学生对于体积的一个真实困惑?空气有体积吗？?于是准备了一个放了气的皮球和打气筒，打算在课堂上演示。教学过程中果然有学生提出这一问题，还没等老师拿出器具，一位学生说?我有办法证明给大家看?。只见他掏出一个塑料袋，往里吹气、抓住，?看！空气是有体积的。?事实教育我们，真的不能低估孩子的认知水平与能力。
再以皮亚杰理论的应用，反思两个教学案例：
其一，一年级教学球体的初步认识。鉴于儿童经常说?球是圆的?，为了区别?球?与?圆?，教师出示一个蛮大的塑料球，瓣开成两个半球面，让学生看到切口是圆。还给学生每人发了一个药丸的包装壳，让学生自己瓣开再观察。观
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