专题限时集训(八)
[第8讲 三角恒等变换与解三角形]
(时间：45分钟)
?π?3
1．已知α∈?，π?，sin α＝，则tan 2α＝( )
5?2?
24242424A. B. C．－ D．－ 725257312.－＝( ) cos 10°sin 170°
A．4 B．2 C．－2 D．－4
1?π?
3．已知sin α＝－，且α∈?－，0?，则sin 2α＝( )
3?2?
2 22 24 24 2
A. B．－ C. D．－ 3399
4．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶7，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝120°，c＝3a，则( ) A．a>b B．a
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝5，c＝8，则△ABC的面积等于( )
A．10 B．10 3 C．20 D．20 3
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝6，b＝2，且1＋2cos(B＋C)＝0，则△ABC的BC边上的高等于( )
6
A.2 B.
26＋23＋1
D. 22
8．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )
34A. B. 43
43C．－ D．－
34
2
9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若b＝1，c＝3，C＝π，
3
则S△ABC＝________．
35
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos A＝，cos B＝，b＝3，
513
C.
则c＝________．
11．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若(2a＋c)·cos B＋b·cos C＝0，则B的值为________．
π
12．在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2 3.设内角B＝x，周长为y，则y＝f(x)的
3
最大值是________．
?π?
13．已知函数f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x＋m在区间?0，?上的最大值为2.
?3?
(1)求常数m的值；
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△
3 3
ABC的面积为，求边长a.
4
AA
π－?＋14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝2cos sin?2?2?
AAsin2－cos2.
22
(1)求函数f(A)的最大值；
5π
(2)若f(A)＝0，C＝，a＝6，求b的值．
12
4
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝. 5
(1)求cos(A＋C)的值；
?π?
(2)求sin?B＋?的值；
6??→→
(3)若BA·BC＝20，求△ABC的面积．
专题限时集训(八)
?π?343
1．D [解析] 因为α∈?，π?，sin α＝，所以cos α＝－，tan α＝－.所以tan 2
554?2?
?－3?2×2tan α?4?24
α＝＝＝－. 22731－tanα1－?－?
?4?
2．D [解析]
3131
－＝－＝
cos 10°sin 170°cos 10°sin 10°
3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°
＝
2sin（10°－30°）2sin（－20°）－2sin 20°
＝＝＝－4，故选D.
1sin 10°cos 10°sin 10°cos 10°sin 20°2
π
3．D [解析] ∵α∈(－，0)，∴cos α＝
2
4 2sin 2α＝2sin αcos α＝－. 9
1?22 2?1－?－3?＝，
3
16k2＋25k2－49k21
4．C [解析] 由正弦定理可设a＝4k，b＝5k，c＝7k，则cos C＝＝－<0，
52·4k·5k因此三角形为钝角三角形．
1
5．C [解析] 因为sin 120°＝3sin A，所以sin A＝，则A＝30°＝B，因此a＝b.
249＋25－641
6．B [解析] 因为cos C＝＝，sin C＝72×7×5
＝10 3.
484 314 3＝，所以S＝×7×5×49727
π136
7．C [解析] 由1＋2cos(B＋C)＝0得cos A＝，则sin A＝，A＝，由正弦定理得2233
2π5π22?ππ?2
＝，sin B＝，B＝，C＝，因此BC边上的高为2×sin C＝2×sin?＋?＝2( ×sin B24122?46?6＋2321＋×)＝. 2222
1
8．C [解析] 由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab
2
222a＋b－cabsin C－2absin C2222
－c，则absin C－2ab＝a＋b－c，又因为cos C＝＝＝－1，所以
2ab2ab2
C2tan
22×2sin CCCCC4
cos C＋1＝，即2cos2＝sincos，所以tan＝2，即tan C＝＝＝－. 22222232C1－21－tan
2
3bc1319. [解析] 因为b sin3 ππ2ππ11 ＝2，由B是三角形的内角知，B＝，于是A＝π－－＝，则S△ABC＝bcsin A＝×3 663622 13×＝. 24 1435410. [解析] 因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝， 55135 12aba313 sin B＝.由正弦定理得＝，即＝，所以a＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－ 13sin Asin B4125 513 16914 2accos B，即9＝＋c2－2c，解得c＝(负值舍去)． 2552π 11. [解析] 由正弦定理可将(2a＋c)cos B＋bcos C＝0转化为2sin A·cos B＋sin C·cos 3 B＋sin Bcos C＝0，即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，得2sin Acos B＋sin A＝0，又由A为△ABC2π1 内角，可知sin A≠0，则cos B＝－，则B＝. 23 π2π 12．6 3 [解析] △ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝，B>0，C>0得0 33BC2 3BC?2π? 用正弦定理知AC＝sin B＝·sin x＝4sin x，AB＝sin C＝4sin?－x?.因为y＝ sin Asin A?3?π sin 3AB＋BC＋AC，所以y＝4sin x＋4sin?2π??2π???π? ＋2 3，即y＝4 3sin????x＋?＋2 3 ?3－x??0 ππππ5π??π ? π 13．解：(1)f(x)＝2 3sin x·cos x＋2cos2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1. 6π?π5π??π? 因为x∈?0，?，所以2x＋∈?，?. 6?66??3??ππ??π5π? 因为函数y＝sin t在区间?，?上是增函数，在区间?，?上是减函数， ?62??26? πππ?π??π? 所以当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)在区间?0，?上取到最大值．此时，f(x)max＝f??626?3??6?＝m＋3＝2，得m＝－1. π?? (2)因为f(A)＝1，所以2sin?2A＋?＝1， 6??ππ?1? 即sin?2A＋?＝，解得A＝0(舍去)或A＝. 36?2?abc 因为sin B＝3sin C，＝＝，所以b＝3c.① sin Asin Bsin C π3 33 311 因为△ABC的面积为，所以S△ABC＝bcsin A＝bcsin＝，即bc＝3.② 42234 由①和②解得b＝3，c＝1. π 因为a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×cos， 3 所以a＝7. π?AAAA? 14．解：(1)f(A)＝2cossin＋sin2－cos2＝sin A－cos A＝2sin?A－?. 22224??ππ3π 因为0 ππ3π 当A－＝，即A＝时，f(A)取得最大值，且最大值为2. 424π?π??? (2)由题意知f(A)＝2sin?A－?＝0，所以sin?A－?＝0. 4?4???ππ3πππ 又知－ 44444 5π7ππ 因为C＝，所以A＋B＝，则B＝. 12123 π6·sin 3abasin B 由＝，得ab＝＝＝3. sin Asin Bsin Asin A 15．解：(1)在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. 44 ∵cos B＝，∴cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cos B＝－. 55 4?2342?(2)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝1－cosB＝1－?5?＝， 55πππ33143 3＋4 ∴sin(B＋)＝sin Bcos＋cos Bsin＝×＋×＝. 666522510→→→→ (3)∵BA·BC＝20，即|BA|·|BC|cos B＝20， 4 ∴c·a·＝20，即ac＝25. 5 11315 ∴△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×25×＝. 2252
