第十四章 推理与证明
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考试要求 1.了解合情推理的含义. 2.能利用归纳与类比等进行简单的推理. 3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 4.了解演绎推理的重要性. 5.掌握演绎推理的基本模式：“三段论”. 6.能运用演绎推理进行简单的推理. 7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别. 8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法. 9.了解分析法与综合法的思维过程、特点. 10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点. 11.了解数学归纳法的原理. 12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题. 本章重点：1.利用归纳与类比进行推理；2.利用“三段论”进行推理与证明；3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题；4.数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n(n∈N*)有关的数学命题. 本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题；2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题；3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明. “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法. 本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间. 重难点击 命题展望 知识网络
14.1 合情推理与演绎推理
典例精析
题型一 运用归纳推理发现一般性结论
【例1】 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.
3
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝；
23
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝；
23
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝；
23
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝.
2
3
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.
2
33
左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝(sin2α＋cos2α)＝＝右边.
22【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”(周期性).
【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b＜c＋h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5. 其中正确结论的序号是 ；
进一步类比得到的一般结论是 . 【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*). 题型二 运用类比推理拓展新知识 【例2】 请用类比推理完成下表： 平面 三角形两边之和大于第三边 三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半 空间 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一 【解析】 本题由已知的前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一. 本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.
【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：
平面 空间 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 ? ? 【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到
4a1a2a3a4第i条边的距离为hi(i＝1,2,3,4)，(1)若＝＝＝＝k，则ihi＝ ；(2)类比以上性质，体积1234
?i?1为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝
4S1S2S3S41,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则iHi＝ .
1234
?i?12S3V
【解析】；. kK
题型三 运用“三段论”进行演绎推理
x－a
【例3】已知函数f(x)＝ln ax－(a≠0).
x
(1)求此函数的单调区间及最值；
111en
(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋＋＋?＋≥ln .
23nn！
x－a
【解析】(1)由题意f′(x)＝2. x当a＞0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数， fmin(x)＝f(a)＝ln a2，无最大值.
当a＜0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，
此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数， fmin(x)＝f(a)＝ln a2，无最大值.
x－1
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝ln x－≥f(1)＝0，
x
1e故≥1－ln x＝ln ， xx
111eeen
取x＝1,2,3，?，n，则1＋＋＋?＋≥ln e＋ln ＋?＋ln ＝ln .
23n2nn！
【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.
kx－1
【变式训练3】已知函数f(x)＝eg(x)，g(x)＝(e是自然对数的底数)，
x＋1(1)若对任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求满足条件的最大整数k的值； (2)求证：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋?＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*). 【解析】(1)由条件得到
2x-1现在证明ex?12x-1ex?12x-1f(1)＜2?ex?1＜2?k＜2ln 2＋1＜3，猜测最大整数k＝2，
＜x＋1对任意x＞0恒成立：
33
＜x＋1等价于2－＜ln(x＋1)?ln(x＋1)＋＞2，
x＋1x＋1
x－2313
，则h′(x)＝－. 2＝x＋1x＋1(x＋1)(x＋1)2故x∈(0,2)时，h′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0. 设h(x)＝ln(x＋1)＋
所以对任意的x＞0都有所以整数k的最大值为2.
3
(2)由(1)得到不等式2－＜ln(x＋1)，
x＋1
33
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－＞2－，
k(k＋1)＋1k(k＋1)
2x-1h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即ex?1＜x＋1对任意x＞0恒成立，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋?＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－
3331
)＋(2－)＋?＋[2－]＝2n－3[＋1×22×31×2n(n＋1)
113
＋?＋]＝2n－3＋＞2n－3， 2×3n(n＋1)n＋1
所以原不等式成立.
总结提高
合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发；那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.
14.2 直接证明与间接证明
典例精析
题型一 运用综合法证明
111
【例1】设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
abab
【证明】因为a＋b＝1，
a＋b111a＋ba＋ba＋bbaa＋bba?所以＋＋＝＋＋＝1＋＋1＋＋≥2＋＋＝2＋2＋4＝8，当且仅
ababababababa＋b2ab()2
1
当a＝b＝时等号成立.
2
【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.
a2b2c2
【变式训练1】设a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
bca
【证明】因为a，b，c＞0，根据基本不等式， a2b2c2
有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. bca
222abc
三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).
bca
222abc
即＋＋≥a＋b＋c. bca
题型二 运用分析法证明
【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求证：I2＜4S.
