2009—2010学年第二学期
课名：线性代数（2学分）
一、填空与选择题(24分)
1、 已知m阶方阵A与n阶方阵B的行列式值分别为a,b,且ab?0,则
?AT?3??00??B?1??1?______(?3)(n?m)b_____________. a?100?1??**?12、 设A?220，其伴随矩阵为A，则?A??____A______.
??6?333???3、 若
3
阶方阵
A满足
A?E?A?2E?A?E?0，则
A2?5A?3E?___-231___________.
4、 已知?1,?2,?3是R空间的一组规范正交基，则2?1??2?3?3?__14__________.
2225、 设二次型f(x1,x2,x3)?xTAx?ax1?2x2?2x3?2bx1x3，其中b?0，已知A的全体特征
3
值之和为1，全体特征值之积为?12，则a?_1__________，b?___2________. 6、 设A为n阶非零方阵，且A中各行元素都对应成比例，又?1,?2,组Ax?0的基础解系，则t? n-1____________.
,?t是齐次线性方程
?123???7、 设Q?24t，P为3阶非零方阵，且PQ?0，则下面说法正确的是_____C____.
???369???(A). t?6时R(P)?1 (B). t?6时R(P)?2 (C). t?6时R(P)?1 (D). t?6时R(P)?2
?a1??b1??c1???????8、 设?1?a2,?2?b2,?3?c2,三条不同的直线aix?biy?ci?0，(i?1,2,3)，
???????a??b??c??3??3??3?ai2?bi2?0，则这三条直线交于一点的充要条件是_____D____________.
(A). ?1,?2,?3线性相关 (B). ?1,?2,?3线性无关 (C). R(?1,?2,?3)?R(?1,?2,?3) (D). ?1,?2,?3线性相关,?1,?2线性无关
?1b?b1二、(12分) 设n阶方阵A?????bb值.nb?b?1,. １－b（（?1重根）。
b?b??，试求A的全体特征??1??100??230三、(10分)设4阶方阵A???0?45??00?6
0?0??，又(E?A)B?E?A，求E?B. 0??7??(2??)x1?2x2?2x3?1 ?四、(12分)已知线性方程组?2x1?(5??)x2?4x3?2 ，试讨论参数?为何
??2x?4x?(5??)x????1?123值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解.
?1??1??1???????五、(12分)设有如下两个向量组：向量组?I?:?1?0,?2?1,?3??1，向量组???????2??3??a?2????????1??2??2??,???1?,???1?2?II?:?1????2??3??，问a取何值时两个向量组等价？a又为何?a?3??a?6??a?4???????值时两个向量组不等价？
六、(16分)设A为3阶方阵，?1,?2,?3为线性无关的3维列向量，且A?1??1??2??3，
A?2?2?2??3，A?3?2?2?3?3，
(1) 求方阵B，使得A(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)B， (2) 求正交阵P，使得PBP为对角阵，并求出此对角阵. 七、(1)(7分)已知?i??ai1,ai2,?1,ain?，(i?1,2,T,r, r?n)为n维实向量，且
a1nxn?0a2nxn?0arnxn?0的一个
?1,?2,?a11x1?a12x2??b1??ax?ax??b??2,?r线性无关，又已知????是线性方程组?211222???????ar1x1?ar2x2??bn?非零解，试证明向量组?1,?2,,?r,?线性无关.
TT(2) (7分)设?为n维列向量，???1，方阵A?E???，试证|A|?0.
2009—2010学年第二学期
课名：线性代数 考试考查：考查
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计
分）
一、填空与选择题(24分)
**
1、 设A是n阶方阵，A是其伴随阵，则|A|A?___B_____________.
(A). A (B). A22n?1 (C). A (D). A
n2n2、 设A是n阶方阵，则___C_____是对称矩阵.
(A). A?AT (B). CACT，C是任意n阶方阵(C). AA (D). AAB，B是任意n阶对称阵TT
3、 设A是m?n阵，A的秩R(A)?r，则线性方程组Ax?0有非零解? _______D________.
(A). m?n (B). r?m(C). r?m (D). A的列向量组线性相关
4、 设A是n阶正交阵，则以下结论中正确的是__B__________.
(A). A?1 (B). AT与A为可交换矩阵 (C). A??1 (D). A为对称阵
4??1?7??17?5、 已知A?43,?3?1，2则??的三个特征值为?1??2???4?4x???x?________4_______.
6、 若A为
4
阶方阵，其秩R(A)?2，A
*
是其伴随阵，则
R(A*)?____0__________________.
117、 设有方程1xa1a2x2a122a2xn?1a1n?1n?1?0，这里ai(i?1,a2,n?1)是互不相等的实常数，
21an?1an?1n?1an?1则方程的全部解为___a1,a2,?,an?1________________.
?1??1??2??????1?线性相关，则实数k?_0____________.
8、 已知向量组?1?1,?2?0,?3????????k?8??5??3???????ab00ab二、(10分)计算n阶行列式：Dn?000000ab0a=an?(?1)n?1bn
00a000b00三、(15分)设A,B是n阶方阵，A?B?AB，
(1)证明：A?E可逆，
?1?30???(2)设B?210，求A. ???002????x1?x2?kx3?4?2四、(15分)线性方程组??x1?kx2?x3?k，问参数k为何值时此方程组
?x?x?2x??4?123(1)无解，(2)有唯一解，(3)有无穷多个解，并在无穷多个解的时候求出其通解.
?1c??a?5?*
b3五、(12分)设A?，其行列式值A??1，其伴随阵A有特征值?，
???1?c0?a?????1???????1??为对应的特征向量，求a,b,c,?. ?1???22六、(14分)已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3，
(1)求二次型f的矩阵A；
(2)求正交阵P，使其在经过正交变换x?Py后，二次型f可化为标准形，并写出标准形.
