数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( × )
(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋?＋2n2＝2n3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1
＋
＋
＋2＋22＋23.( √ )
(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.( √ )
1．用数学归纳法证明1＋a＋a＋?＋a左边的项是( ) A．1 C．1＋a＋a2 答案 C
解析 当n＝1时，n＋1＝2，
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
2
n＋1
1－an2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式
1－a
＋
∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.
111111
2．(2016·黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋?－＝2(＋234nn＋2n＋41
＋?＋)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
2nA．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案 B
解析 因为n为正偶数，n＝k时等式成立， 即n为第k个偶数时命题成立，
所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立．
1
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
2A．1 C．3 答案 C
解析 凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3.
n4＋n2
4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋?＋n＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加
2
2
B．2 D．0
上( ) A．k2＋1 B．(k＋1)2 ?k＋1?4＋?k＋1?2C.
2
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋?＋(k＋1)2 答案 D
解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.
故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋?＋(k＋1)2.
2
5．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝an－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝
________，a4＝________，猜想an＝________. 答案 3 4 5 n＋1
