1．1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？
思考2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？
梳理 把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距． 知识点二 椭圆的标准方程
思考1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
思考2 椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|? 梳理
标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2 1
图形 焦点坐标 a，b，c的关系
类型一 求椭圆的标准方程
命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝6； (2)经过点(3，15)，且与椭圆
反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
35
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；
22(2)焦点在x轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．
命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程
＋＝1有共同的焦点． 259
x2y2
2
例2 求经过(2，－2)和?－1，
??14?
?两点的椭圆的标准方程． 2?
反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax＋By＝1(A>0，B>0，A≠B)，再解答．
1
跟踪训练2 求经过A(0,2)和B(，3)两点的椭圆的标准方程．
2
类型二 椭圆方程中参数的取值范围 例3 “方程3
A．1 2C．2 2 2 x2 m－13－m＋ y2 ＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是( ) B．1 反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． m>0，??xy(2)＋＝1表示椭圆的条件是?n>0， mn??m≠n； 2 2 3 m>0，?? 表示焦点在x轴上的椭圆的条件是?n>0， ??m>n；m>0，?? 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是?n>0， ??n>m. 2 2 跟踪训练3 已知xsin α＋ycos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围． 类型三 椭圆定义的应用 例4 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 54的面积． x2y2 引申探究 在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长． 跟踪训练4 已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积． 43 x2y2 4
