2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）
（2015年12月6日） 解答本题可以使用科学计算器
一填空题（每小题10分，共80分）
1、已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则?ABD的面积为______________。
解答：依据切割线定理可以得到：CD?CB?CA?CD?2。 因为可以得到?CBD∽?CDA?2BDCD? ADACBCOA因此有
BD21。 ??AD22D1。 3因为AB为圆O的直径，所以?ABD时直角三角形。 依据勾股定理有AB?BD?AD?1?3BD?BD?22222而S?ABD?122 BD?AD?BD2?2262、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。
3解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为C7?35种，因为没有小球的数字不同，这样
这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况
3第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为C4?4
第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两
22个，取法有C4?C3?12.
这样和为奇数一共有4?12?16种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为3、实数x,y满足x2?3y?4，y2?3x?4，x?y，则
2??x?3y?4?????①解答：因为?
2??y?3x?4?????②16 35xy?的值为____________。 yx上述①②两个相减，得到：(x?y)(x?y)?3(x?y)?0。因为x?y
所以有x?y?3。
上述①②相加得到x2?y2?3(x?y)?4?(x?y)2?2xy?3(x?y)?4
xy(x?y)2?2xy所以xy?1。因此???1
yxxy
4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为________．
解答：设这三个素数为a,b,c。则有abc?23(a?b?c)。因为23是素数，从
abc?23(a?b?c)，可以得到23能够整除三个素数a,b,c的abc积。从而可以得到其中
有一个素数必为23。假设a?23
这样就有bc?23?b?c?bc?b?c?1?24?(b?1)(c?1)?24?4?6?2?12 因为b,c为素数，所以得到b?5,c?7或b?3,c?13 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。
5. 如图，圆O1与圆 O2外切于点P ，从圆O1上点A 作圆O2的切线AB ， B 是切点，连接 AP 并延长，与圆O2交于点C ．已知圆O1 、圆O2的半径分别为2、1，则
AC?________． AB解答：做如图所示的辅助线。可以得到
CO1PO2BAPCCO21AO1//CO2???
PAAO12为此设PC?k，则PA?2k. 应用切割线定理有：
AB2?AP?AC?2k?3k?AB?6k.
所以
AC3k6。 ??AB26k6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，?MON 的两边分别是射线 y ??x(x ??0)与x轴正
半轴．点A(6,5)，B(10,2)是?MON 内的两个定点，点P、Q分别是?MON 两边上的
动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________． 解答：本题主要就是应用对称。应为四边形 ABQP ，其中一个边AB为定值。要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。 从对称可以得到A/(5,6),B/(10,?2). 四边形另外三边的最小值为AB 依据两点间距离公式有
//。AB?A'APMBNQB'//(10?5)2?(?2?6)2?89，AB?(10?5)2?(2?5)2?34 从而最小值为89?34。
7. 不定方程x2?y2?xy?2x?2y的整数(x,y)解共有________组。
解答：设x?y?k，所以从x2?y2?xy?2x?2y，可以得到k2?2xy?xy?2k
k2?2k所以k?2k?3xy?xy?。
32k2?2k?0的两个根，并且根为整数。 这样x,y是方程t?kt?32k2?2k?0?k2?8k?0。因此有0?k?8。 所以??(?k)?4?32k2?2kk(k?2)?同时要保证xy?为整数。这样就有k?0，3，5，6，8 33当k?0时，(x,y)?(0,0)
2当k?3时，方程为方程t?3t?1?0没有整数解。
2当k?5时，方程为方程t?5t?5?0没有整数解。
2当k?6时，方程为方程t?6t?8?0，有整数解为2,4。所以(x,y)?(2,4)或(4,2)
2当k?8时，方程为方程t?8t?16?0，有整数解为4,4。所以(x,y)?(4,4)
整数(x,y)解共有4组
8. 设a是给定的正实数，n 是给定的大于1 的整数，实数x1,x2,x3,???,xn 满足
2，则 x12?x22?x32?????x?an(x1?x2)2?(x1?x3)2?????(x1?xn)2?(x2?x3)2?????(x2?xn)2?????(xn?1?xn)2的最
大值________________。 解答：
因为(x1?x2)2?(x1?x3)2?????(x1?xn)2?(x2?x3)2?????(x2?xn)2?????(xn?1?xn)2
?(n?1)(x12?x22?????xn2)?2x1(x2?x3????xn)?2x2(x3?x4????xn)?????2xn?2(xx?1?xn)?2xn?1xn?(n?1)a?2x1(x2?x3????xn)?2x2(x3?x4????xn)?????2xn?2(xx?1?xn)?2xn?1xn
有这样的一个结论，因为
x2?y2?x?y?2xy?2xy?x2?y2??(x2?y2)??2xy?x2?y2
而?2x1(x2?x3????xn)?2x2(x3?x4????xn)?2xn?2(xx?1?xn)?2xn?1xn
22?[(x12?x22)?(x12?x32)????(x12?xn2)]?[(x22?x32)?(x22?x42)????(x22?xn2)]?[(x32?x42)?(x32?x52)????(x32?xn2)]????[(xn?22?xn?12)?(xn?22?xn2)]?(xn?12?xn2)]?(n?1)x12?(x?1)x22????(x?1)xn2?(n?1)(x12?x22????xn2)?(n?1)a所以最大值为2(n?1)a
二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分）
9. 如图，在△ABC中，BC ??a，CA ??b，?ACB ??60?，△ABD是正三角形，P是其中 心，求CP 的长度．
解答：分析作D点关于AB的对称点D。
/0则?ADB为等边三角形，这样就有?ADB?60，已知?ACB ??60?
//所以A,C,D/,B四点共圆。这个圆过P
APCD'BD点。连接AP，BP。
因为P是正三角形ABD的中心，所以
AP?BP?23ABsin600?AB 33
