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2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设a?7?1，则3a3?12a2?6a?12?（ ）
A.24. B. 25. C. 47?10. D. 47?12.
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（ ） A.72. B. 10. C.
105. D. 73. 23．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x?2[x]?3?0的解的个数为（ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）
A.
3314. B. . C. . D. . 14727A5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A
作半圆的切线AE，则sin?CBE＝ （ ）
D21610A.. B. . C. . D. . 333106．设n是大于1909的正整数，使得
EBCn?1909为完全平方数的n的个数是
2009?n（ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
2221．已知t是实数，若a,b是关于x的一元二次方程x?2x?t?1?0的两个非负实根，则(a?1)(b?1)的最
小值是____________.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.
22223．如果实数a,b满足条件a?b?1，|1?2a?b|?2a?1?b?a，则a?b?______.
4．已知a,b是正整数，且满足2(1515?)是整数，则这样的有序数对(a,b)共有_____对. ab
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第二试 （A）
一．（本题满分20分）
已知二次函数y?x2?bx?c(c?0)的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC＝2，求b和c的值.
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求I1I2.
三．（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件：
a?b?c?32 ①
b?c?ac?a?ba?b?c1??? ② bccaab4证明：以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形.
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第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.
A
H
FNQP
E
CMB
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件：
a?b?c?32 ①
b?c?ac?a?ba?b?c1??? ② bccaab4是否存在以a,b,c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
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参考答案 第一试
一、 1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 D 6、 B 二、 1、?3 2、2mn 3、?1 4、7
填空题 选择题
第二试 （A）
二．（本题满分25分）
解: （1）易求得点C的坐标为(0,c)，设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1?x2??b，x1x2?c.
设⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则OD?cOA?OBx1x2???1.
OCcc因为c?0，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0,?1)， 即c??1. 又AB?x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2?(?b)2?4c?b2?4，所以
S△ABC?112AB?OC?b?4?1?2，解得b??23. 22二．（本题满分25分）
解： 作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F.
FB在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，AB=AC+BC?5.
22DEI1AI2AC2916?，故BD=AB?AD?， 又CD⊥AB，由射影定理可得AD=5AB5中考网 www.zhongkao120.com
C
