简单含参函数单调性的确定
——求导后转化为含参的一元二次不等式
正阳县高级中学 吕玉光
简单含参函数单调性的确定
——求导后转化为含参的一元二次不等式
正阳高中 吕玉光
考纲要求 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.这部分在高考中每年都有涉及，特别是含参函数单调性的确定及单调性的逆问题，所占分值比重较大，是学生学习的重点，也是难点。本课时的设计主要是解决含有参数的函数单调性的确定，意在巩固、提升学生分类讨论及讨论后整合的能力。
学习目标 1．正确理解利用导数判断函数单调性的原理；
2．解决求导之后转化为含参的一元二次不等式的单调性问题，掌握不同类型下的不同处理方法；
3. 解决在分类讨论时如何确定分类标准、如何展开分类讨论以及讨论后的整合,培养学生转化与化归的数学思想。
学习过程 复习回忆——利用导数判断函数单调性的方法
若f(x)?0在区间(a,b)上恒成立?y?f(x)在区间(a,b)上单调递增； 若f(x)?0在区间(a,b)上恒成立?y?f(x)在区间(a,b)上单调递减。
上一节课我们学习了利用导数判断函数单调性的方法以及具体函数的单调性的判断，那么对于含有参数的函数，其单调性又该如何研究呢？这就是我们这节课要讨论的重点——简
''单含参函数单调性的确定
132【引例】（09年全国二卷）设函数f(x)?x?(1?a)x?4ax?24a讨论函数f(x) 的
3单调性.
分析：先求导，然后对导函数进行分解因式，再求出零点，判断两个零点的大小关系，从而
确定函数的单调区间. 解：由题意：f(x)?x?2(1?a)x?4a?(x?2)?(x?2a)，由f(x)?0得x?2或x?2a， （1）当2a?2即a?1时由f(x)?0得x?2a或x?2，由f(x)?0得2a?x?2，此时
'''2'f(x)的单调增区间是(??,2a)和(2,??)，单调减区间是(2a,2)；
（2）当2a?2即a?1时f(x)?0恒成立，此时f(x)的单调增区间是(??,??)； （3）当2a?2即a?1时由f(x)?0得x?2或x?2a，由f(x)?0得2?x?2a，此时
''' 1
f(x)的单调增区间是(??,2)和(2a,??)，单调减区间是(2,2a).
综上：当a?1时f(x)的单调增区间是(??,2a)和(2,??)，单调减区间是(2a,2)； 当a?1时f(x)的单调增区间是(??,??)；
当a?1时f(x)的单调增区间是(??,2)和(2a,??)，单调减区间是(2,2a).
1【变式1】设函数f(x)?x2?2(1?a)x?4alnx，讨论函数f(x)单调性.
2分析：求导之后发现含有分式，则通分，然后对导函数的分子进行十字相乘分解因式，再求
出对应的零点，判断零点是否在定义域内，能否确定零点的大小关系，得出函数的单调区间. 解：由题意：f(x)的定义域为(0,??)且f(x)?x?2(1?a)?'4a(x?2)?(x?2a)?，由xxf'(x)?0得x?2或x?2a
（1）当2a?0即a?0时由f(x)?0得x?2，由f(x)?0得0?x?2，此时f(x)的单调增区间是(2,??)，单调减区间是(0,2)；
（2）当0?2a?2即0?a?1时由f(x)?0得0?x?2a或x?2，由f(x)?0得
''''2a?x?2，此时f(x)的单调增区间是(0,2a)和(2,??)，单调减区间是(2a,2)；
（3）当2a?2即a?1时f(x)?0恒成立，此时f(x)的单调增区间是(0,??)；
（4）当2a?2即a?1时由f(x)?0得0?x?2或x?2a，由f(x)?0得2?x?2a，此时f(x)的单调增区间是(0,2)和(2a,??)，单调减区间是(2,2a). 综上：当a?0时f(x)的单调增区间是(2,??)，单调减区间是(0,2)；
当0?a?1时f(x)的单调增区间是(0,2a)和(2,??)，单调减区间是(2a,2)； 当a?1时f(x)?0恒成立，此时f(x)的单调增区间是(0,??)； 当a?1时f(x)的单调增区间是(0,2)和(2a,??)，单调减区间是(2,2a).
''''13【变式2】设函数f(x)?x?ax2?4ax?24a，讨论函数f(x)单调性.
3分析:导函数f'(x)?x2?2ax?4a的符号不能确定，也不能在有理式范围内实现十字相乘分
解，故我们要用△来研究其导函数的符号问题.
2
解：由题意：f(x)?x?2ax?4a则??4a?16a
1.当??4a?16a?0即0?a?4时f(x)?0恒成立，此时f(x)的单调增区间是
2''22(??,??)；
2.当??4a?16a?0即a?0或a?4时 由f(x)?0得x1?a?'2a2?4a,x2?a?a2?4a,由f'(x)?0得x?x1或x?x2，由
f'(x)?0得x1?x?x2，则f(x)的单调增区间是(??,a?a2?4a),(a?a2?4a,??)单调减区间(a?a2?4a,a?a2?4a).
综上：当0?a?4时f(x)的单调增区间是(??,??)； 当a?0或a?4时f(x)的单调增区间是(??,a?间(a?a2?4a),(a?a2?4a,??)单调减区
a2?4a,a?a2?4a).
1【课后探究】设函数f(x)?ax2?2(1?a)x?4lnx(a?0)，讨论函数f(x)单调性.
2分析：先注意最高次前面的系数问题，确定大的分类讨论点，求导以后注意观察导函数，看
能否进行分解因式求出对应的零点，然后再着手讨论. 解：由题意：f(x)的定义域为(0,??)且f(x)?ax?2(1?a)?'4(ax?2)?(x?2)?， xx?2(x?2)当a?0时f(x)?此时f(x)的单调增区间是(0,2)单调减区间是(2,??)；
x'当a?0时由f(x)?0得x1?2或x2?1.当0?'2 a22?2即0?a?1时由f'(x)?0得0?x?或x?2，由f'(x)?0得aa222?x?2，此时f(x)的单调增区间是(0,)和(2,??)，单调减区间是(,2)；
aaa2.当
2?2即a?1时f'(x)?0恒成立，此时f(x)的单调增区间是(0,??)， a222?2即a?1时由f'(x)?0得0?x?2或x?，由f'(x)?0得2?x?，此时aaa 3.当
3
22f(x)的单调增区间是(0,2)和(,??)，单调减区间是(2,).
aa综上：当a?0时f(x)的单调增区间是(0,2)单调减区间是(2,??)； 当0?a?1时f(x)的单调增区间是(0,)和(2,??)，单调减区间是(,2)； 当a?1时f(x)的单调增区间是(0,??)；
当a?1时f(x)的单调增区间是(0,2)和(,??)，单调减区间是(2,).
归纳总结 在解决含参数的函数单调性问题时：要先考虑定义域，再对导函数进行因式分解求零点，
然后判断零点是否在定义域内，以及零点的大小是否确定（大小不定时需分类讨论）；若导函数不能因式分解，则需要用判别式对导函数的符号进行研究.
2a2a2a2a 巩固练习 1.已知函数f(x)?x2?alnx(a?R)讨论函数的单调性
112.试讨论函数y?ax3?(a?1)x2?x?1的单调性
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拓展延伸 1.已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （1）讨论函数f(x)的单调区间；
?21???内是减函数，求a的取值范围． （2）设函数f(x)在区间??，?33?
12.已知函数f?x??lnx?ax2?2x?a?0?存在单调递减区间，求a的取值范围；
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