x2y223.【2014年重庆卷（理21）】如下图，设椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为
abF1,F2，点D在椭圆上，DF1?F1F2，
2|F1F2|. ?22，?DF1F2的面积为2|DF1|（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
y F1F2Ox
D
b2b2解：（1）设D(?c,y)，代入椭圆方程中求出y??，故DF1?，而F1F2?2c
aa由已知：F1F2?22DF1,212F1F2?DF1?，联立解出F1F2?2,DF1?
222b222?,a?b2?c2，联立解出a?2,b?c?1 即2c?2,a2x2?y2?1 所以椭圆的标准方程为2（2）由于所求圆的圆心C在y轴上，故圆和椭圆的两个交点A,B关于y轴对称，从而经过点A,B所作的切线也关于y轴对称，如下图所示。
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y C AB
x OF1F2 P
当切线互相垂直时，设两条切线交于点P，则CAPB恰好形成一个边长为r正方形。其中r表示圆的半径，由几何关系BF2?BP?PF2?r?2，
BF1?BP?PF1?r2?2，因为BF1?BF2?2a?22 222所以r?2?r?2?22?r?4242， 故所求圆的半径为
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24.【2014年安徽卷（理19）】（本小题满分13分）
如图，已知两条抛物线E1:y?2P1x(P1?0)和
2yA2E2E2:y?2P2x(P2?0)，过原点O的两条直线l1和l2， l2l1与E1,E2分别交于A1,A2两点，l2与E1,E2分别交
于B1,B2两点．
l1O2E1A1xB1B2（Ⅰ）证明：A1B1//A2B2； 第（19）题图 （Ⅱ）过原点O作直线l（异于l1，l2）与E1,E2分别交于C1,C2两点．记?A1B1C1与
?A2B2C2的面积分别为S1与S2，求
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S1的值． S2
【解析】（Ⅰ）由题意知直线l1和l2的斜率都存在且非零，设l1:y?k1x，联立E1,E2的方程得
A1(2p12p1,),2kk11A2(2p22p2,) 2kk112p12p1,),2k2k2B2(2p22p2,) 2k2k2
设l2:y?k2x，同理可得B1(
∵A1B1?(2p1k22?2p12p12p11111,?)?2p(?,?) 1222kkkkk1k2k121212p22p22p21111,?)?2p(?,?) 2222k2k1k1k2k1k2k1yA2
A2B2?(2p2k22?C2
∴A1B1?p1A2B2 由此证得：A1B1//A2B2 p2lE2E1l2OA1C1（Ⅱ）由（Ⅰ）同理可证得：A1C1//A2C2
xB1l1B1C1//B2C2
B2∴?A1B1C1与?A2B2C2中，A?A1,B?B1,C?C1，∴?A1B1C1∽?A2B2C2 A1B1?2p1(1k12?1k2)2?(22)?(211?)2k1k211?)2 k1k2，
A2B2?2p2(1k12?1k2A1B12p12S1∴?()?2 S2A2B2p2
25.【2014年福建卷（理19）】已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别
为l1：y=2x，l2：y=﹣2x． （1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
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解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2．
所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．
（2）由（1）知，双曲线E的方程为
﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，
所以|OC|?|AB|=8，
因此a?4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2； 则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2）， 由
|﹣|?|
﹣得y1=
，同理得y2=
﹣=1也满足条件．
，由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|得：
|=8，即m=4|4﹣k|=4（k﹣4）．因为4﹣k＜0，
2222
所以△=4km+4（4﹣k）（m+16）=﹣16（4k﹣m﹣16），又因为m=4（k﹣4），
所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为
﹣
=1
22222222
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