对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算（特别是有理数的运算）也可以几何化（具体内容见后文）。在此基础上，笛卡尔把数轴（一维）扩展到平面直角坐标系（二维），把有序数对P（x,y）与平面上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来。于是，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成相应的代数研究，从而诞生了解析几何这门学科。
例如，要研究两条直线平行，在几何上，我们可以通过平行线性质定理来判定，比如，两条直线被第三条直线所截，如果截得的内错角相等，则这两条直线平行。有了解析几何，在平面直角坐标系下，每条直线都唯一地对应着一个二元一次方程或者一个一元函数，比如直线l1对应着y?2x?3，直线l2对应着y?2x?1，通过这两个函数关系式可以看出这两条直线的斜率都是2，所以这两条直线平行，判定两条直线平行不需要前面的判定定理，也不需要画出直观图象，通过判断函数关系式的系数是否相等即可判定其是否平行。这就是用代数方法解决几何问题。
解析几何为几何学的研究提供了新的方法，使许多几何问题变得简单易解，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对形的认识由静态发展到动态，这才是“数形结合”思想的本质所在。
继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合。例如数学分析中，导数——切线的斜率；积分——曲边梯形的面积；代数中，方程f（x）=0的根——曲线y=f（x）与x轴的交点等等，近代数学中，从几何的角度看，代数和几何的结合产生了代数几何；分析和几何结合产生了微分几何；而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析（以及其它学科）提供几何背景、解释和研究课题，促进它们的发展，并使数学在实践中的应用更加广泛和深入。可见，“数形结合”也是今日数学发展的必然，“数形结合”贯穿于数学发展的全过程。
三、不是“数形结合”的案例
依据前面对数形结合思想的分析我们知道“形”主要指点、线、基本几何图形，运用“数形结合”思想时要研究这些几何图形的形状和它的度量特征。否则很难说是在渗透“数形结合”思想。例如发表在本刊200年11期的《数形结合的完美演绎》一文中所说的几个片段：
师：大家讲得都非常好，现在有更多的图形让我们来仔细观察、看图说话。（出示下图）这些图形一共有几个？你能不能用加法算式来计算呢？想出的算式越多越好。
生：3＋3＋3=9。因为每排都有3个，那3排一共有9个。
生：5＋4=9。5个红色的图形加上其他4个颜色的图形一共有9个。 ……
在上述教学片段中，虽然有图形，有算式，但这一活动设计的目的不是渗透“数形结合”思想，因为在该活动中不关注这些图形的形状与度量特征，而是关注图形的“个数”，对图形的个数进行计算。另外，笔者认为，这一活动不仅不能渗透数形结合思想，也不利于小学一年级学生学习加、减法运算（包括理解运算意义与如何运算），因为这样的“图形”不适合作为“学具”，该阶段学习运算的最好学具应是具有齐性、结构性的材料，例如，小木棒、豆子、小石头、计数器、算盘、第纳斯木块等，这样的学具更利于计数个数而排除无关因素的干扰。
（师出示4个完全一样的等腰直角三角形）
师：看着这幅图，你又发现了什么？
生：这4个三角形是按红色、蓝色、红色、蓝色这样排的，它们都有一个直角，而且形状一模一样。
……
师：如果1个三角形代表3，那么拼成的这个正方形代表几？ ……
师：（指黄色的1/4圆）如果这部分代表5，那么这一部分（指红色的3/4圆）代表几？ 生：这块红色的图形代表15。 师：为什么？
生：因为红色的图形里有3个黄色的图形。
这一教学活动的目的也不是渗透“数形结合”思想，因为该活动中不关注“图形”的几何特征，这里的“图形”起到的只是“符号”的作用，可以说渗透的是“符号思想”，这
里的“图形”是未知量x的前身，与数学意义上的“数形结合”思想无关。类似的案例还有：
若 Δ+5=12，求Δ
=？
解决上述小问题过程中渗透的也不是“数形结合”思想，而是符号思想。
那么，小学数学教学中能渗透“数形结合”思想吗？
四、“数形结合”思想在小学数学教学中的渗透
虽然在小学阶段不讲数轴、不讲直角坐标系、不讲函数图象，但“数形结合”思想在小学数学教学中仍有很多“渗透点”。
（一）用好“数尺”、“数线”或数轴，感知“数与形”的结合
由于学生对直尺非常熟悉，因此，可以将直尺抽象为“数尺”，即将“数”有规律、有方向地排列，将抽象的数在可看得见的“数尺（没有刻度，只有自然数）”上形象、直观地表示出来，将数与“位置（还没有“点”的概念）”建立一一对应关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。如下图所示。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 “数线”与数轴的区别在于“数线”没有画出“方向”，“数线”与数轴的运用不但能够比较数的大小，而且将“数”与直线上的“点”建立了一一对应关系，而且任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。
数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化，例如：
“加法”就是在数轴上继续向右“数”，或者看做是向右平移若干个单位。
“减法”就是在数轴上先找到“被减数”，然后再向左“数”，或者看做是向左平移若干个单位。
“乘法”就是在数轴上几个几个地向右“数”，或者把一“线段”拉长几倍。
“除法”就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地“数”，如果恰好数到“0”，则就是“除尽”，数了几次，商就是几。当不能恰好数到“0”，就产生了“余数”，数轴是理解“有余数除法”的形象化载体。例如，48÷5=9??3
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
（麻烦在上面的“数轴”画出对应于每个数的“点”，并从48开始，5个5个地向左数（用‘弯箭头’表示，最后一个箭头指向3） （二）借助线段图，直观形象地理解抽象的数量关系 线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。
例如解决下面的问题时，对比线段图则易于理解算式中的每一符号的意义。
张老师要买一个打印机，王老师要买一件毛衣。打印机：800元/台。毛 衣：200元/件。商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？
方法一：多数同学的解题方法：
分购买所花的钱数：（800-500）×80%+500+200=940（元）
合着购买所花的钱数：（800+200-500）×80%+500=900（元） 合买比分买省的钱数：940-900=40（元）
方法二：一名学生的解题方法：
200×(1-80%)=40(元)
当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这名学生进一步解释。
生：合着买与分着买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的(1-80%)，所以可以直接用200×(1-80%)=40(元)来进行计算。
这名学生解释完后，大多数学生仍然很茫然，没有理解方法二的道理。但是当教师引导学生借助线段图，以形助数，用线段图对比呈现两种方法的所蕴涵的数量关系，学生就能很好地理解每一种方法的道理。通过画线段图就使抽象复杂的数量关系变简单明了，将抽象的数学问题直观化：
500元
300×80%
200×80%
500元
300×80%
200元
借助线段图，变“看不见”为“看得见”，学生便能清晰直观地看到合买合分买的区别，从图中直观地看出真正省的其实就是200元的20％，所以是40元。将复杂的解题过程化繁为简，不但能很好地帮助理清数量之间的关系，还能进一步明确和拓宽解题思路。
又如，有的问题文字上比较“拗口”，问题解决者的头脑中不易理清数量关系，但是将文字上的数量关系转化为线段图表示时，数量关系就一目了然。
十一快到了，妈妈买了2千克的苹果和5千克的梨，共用去10.8元。已知买2千克梨的钱可以买1千克苹果，每千克苹果、梨各多少元？
