精品文档 用心整理
∴ △BCO≌△ACD (SAS) ∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC 又∵OC=OD
∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形 ∵ ∠AOB=110°, ∠BOC=135° ∴ ∠AOC=115°
∴ ∠AOD=115°-60°=55° ∵ ∠ADC=135°
∴ ∠ADO=135°-60°=75°
∴ ∠OAD=180°-55°-75°=50°
∴ 以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.
（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC
=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)
=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360° ∴∠AOD+∠ADO=130° ∴∠OAD=50°
当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°; 当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.
【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨 论思想．
6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接 EF．将△EOF绕点O逆时针旋转?角得到△E1OF1(如图2)． (1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； (2)当?＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．
【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边； (2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF . ∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转?角得到，∴OE1＝OF1. ∵ ∠AOB＝∠EOF＝90， ∴ ∠E1OA＝90－∠F1OA＝∠F1OB.
0
0
?OE1＝OF1? 在△E1OA和△F1OB中，??E1OA＝?FOB，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）. 1? ?OA＝OB ∴ AE1＝BF1.
(2)取OE1中点G，连接AG.
∵∠AOD＝90，?＝30° ，
∴ ∠E1OA＝90－?＝60°.
∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°. ∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.
∴ ∠E1AO＝90°.
∴△AOE1为直角三角形.
【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：
【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).
00
(1)求∠APB的度数；
(2)求正方形ABCD的面积.
【答案】(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ. 则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB. 于是PB=QB=2a，
.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
在△PQC中，∵ ∴ ∴
.
.
，
.
∵ △PBQ是等腰直角三角形， ∴ ∠BPQ=∠BQP=45°.
故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.
(2)∵ ∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°， ∴ 三点A、P、Q在同一直线上.
.
在Rt△AQC中，
∴ 正方形ABCD的面积
.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
