§3 测量不确定度及其估算
3. 1 不确定度的基本概念
由于测量不可避免存在误差，所以用测量结果作为被测量真值的估计值自然要有偏差。测量不确定度就是对测量结果的偏差做全面的评估。不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。测量结果应给出被测量的量值X，同时还要标出测量的总不确定度U，写成x?X?U的形式，这表示被测量的真值在(X?U,X?U)的范围之外的可能性(或概率)很小。显然，测量不确定度的范围越窄，测量结果就越可靠。
引入不确定度概念后，测量结果的完整表达式中应包含： ① 测量值和不确定度； ② 单位；
③置信度。我国的《国家计量规范JJG1027-91测量误差及数据处理》中把P?0.95作为广泛采用的约定概率，当取P?0.95时，可不必注明。
与误差表示方法一样，引入相对不确定度Ex，即不确定度的相对值
Ex?3. 2 不确定度的简化估算方法
Ux?100% (1-3-1) X不确定度是由误差引起的，由于误差的复杂性，准确计算不确定度不是一件简单的事情，已经超出了本课程的范围。因此物理实验中采用具有一定近似性的不确定度估算方法。
不确定度按其数值的评定方法可归并为两类分量： 一是多次测量用统计方法评定的A类分量UA； “方、和、根”的方法合成，即
22U?UA?UB二是用其它非统计方法评定的B类分量UB。总不确定度由A类分量和B类分量按
(1-3-2)
1．A类分量的估算
在实际测量中，一般只能进行有限次测量，这时测量误差不完全服从正态分布规律，而是服从称之为t分布(又称学生分布)的规律。在这种情况下，对测量误差的估计，就要在贝塞尔公式(1-2-10)的基础上再乘上一个因子。在相同条件下对同一被测量作n次测量，若只计算总不确定度U的A类分量UA，那么它等于测量值的标准偏差Sx乘以一因子
tP(n?1)/n，即
— 1 —
UA?tP(n?1)nSx (1-3-3)
式中tP(n?1)是与测量次数n、置信概率P有关的量，置信概率P及测量次数n确定后，
tP(n?1)也就确定了，可从专门的数据表中查得。在P?0.95时，tP(n?1)/n的部分数
据可以从下表中查得。
测量次数n 2 8.98 3 2.48 4 1.59 5 1.24 6 1.05 7 0.93 8 0.84 9 0.77 10 0.72 tP(n?1)/n 物理实验中测量次数n一般不大于10，从该表中可以看出，当n?6~8时，因子
tP(n?1)/n近似取为1，误差并不很大。这时式(21)可简化为
UA?Sx (1-3-4)
有关的计算还表明，在n?6~8时，作UA?Sx近似，置信概率近似为0.95或更大。即当6?n?8时，取UA?Sx已足以保证被测量的真值落在x?Sx范围内的概率接近或大于0.95。所以我们可以直接把Sx的值当作测量结果的总不确定度的A类分量UA。当然，测量次数n不在上述范围或要求误差估计比较精确时，要从有关数据表中查出相应的因子
tP(n?1)/n的值。
2．B类分量的简化估算
作为基础训练，在物理实验中一般只考虑仪器误差所带来的总不确定度的B类分量。 测量是用仪器或量具进行的，任何仪器都存在误差。仪器误差一般是指误差限，即在正确使用仪器的条件下，测量结果与真值之间可能产生的最大误差，用?仪表示。仪器误差产生的原因和具体误差分量的分析计算已超出了本课程的要求范围。我门约定，大多数情况下简单地把仪器误差?仪直接当作总不确定度中用非统计方法估计的B类分量UB，即
UB??仪 (1-3-5)
物理实验中几种常用仪器的仪器误差见下表。
仪 器 名 称 钢直尺 钢卷尺 游标卡尺 螺旋测微计(一级) TW-1物理天平 WL-1物理天平 TG928A矿山天平 水银温度计 — 2 —
量 程 分度值(准确度等级) 仪 器 误 差 0~300mm 0~1000mm 0~300mm 0~100mm 1000g 1000g 200g 1mm ?0.1mm ?0.5mm 分度值 1mm 0.02,0.05,0.1mm 0.01mm 100mg 50mg 10mg ?0.004mm ?50mg ?50mg ?5mg 分度值 ?30~300?C 0.2,0.1?C 读数显微镜 数字式测量仪器 指针式电表 0.01mm ?0.004mm 最未一位的一个单位 或按仪器说明了估算 ±量程?a% a?0.1,0.2,0.5, 1.0,1.5,2.5,5.0 3．总不确定度的合成确
由式(1-3-2)、(1-3-3)和(1-3-5)知，总不确定度为
?tP(n?1)?2?U??S??x仪??n??当取置信概率P?0.95，测量次数n?6~8时
2 (1-3-6)
U?Sx2??2仪 (1-3-7)
式(1-3-7)是物理实验中常用的不确定度估算公式，希望大家能记住。
如果因为Sx?1?仪，或因估算出的UA对实验的最后结果影响甚小，或因条件限制3而只进行单次测量，这时的不确定度估算只能根据仪器误差、测量方法、实验条件以及操作者技术水平等实际情况，进行合理估计，不能一概而论。在一般情况下，简化的做法是采用仪器误差或其数倍的大小作为单次直接测量的不确定度的估计值。当实验中只要求测量一次时，取U??仪并不意味着只测一次比多次测量时U的值小，只说明?仪和用
2UA??2仪估算出的结果相差不大。
【例1】用螺旋测微计测量某一铜环的厚度七次，测量数据如下：
i Hi(mm) 1 9.515 2 9.514 3 9.518 4 9.516 5 9.515 6 9.513 7 9.517 求H的算术平均值、标准偏差和不确定度，写出测量结果。
1 【解】H?7?Hi?177i?1(9.515?9.514???9.517)?9.515(mm) 71SH?7?1?
?(Hi?1i?H)
1(9.515?9.515)2?(9.514?9.515)2???(9.517?9.515)2?0.0018(mm)6??— 3 —
UH?SH??仪?0.00182?0.0042?0.005mm
22?H?9.515?0.005mm
计算结果表明，H的真值以95%的置信概率落在[9.510mm,9.520mm]区间内。 3. 3 间接测量的不确定度
对于间接测量N?f(x,y,z?)，设各直接测量结果为x?x?Ux，y?y?Uy，
z?z?Uz，?，则间接测量的结果N?f(x,y,z?)，不确定度UN可套用标准误差传递
公式进行估算，即
??f?2??f?2??f?UN???Ux2????y??Uy???z?Uz?? (1-3-8) ?x??????如果我们先对间接测量量N?f(x,y,z?)函数式两边取自然对数，再求全微分可得到计算相对不确定度的公式如下
222UN??lnf?2??lnf???Ux????yN??x??2?2??lnf?2??Uy???z?Uz?? (1-3-9)
???22当间接测量所依据的数学公式较为复杂时，计算不确定度的过程也较为繁琐。如果函数形式主要以和差形式出现时，一般采用式(1-3-8)；而函数形式主要以积、商或乘方、开方等形式出现时，用式(1-3-9)会使计算过程较为简便。
【例2】已知某铜环的外径D?2.995?0.006cm，内径d?0.997?0.003cm，高度H?0.9516?0.0005cm，试求该铜环的体积及其不确定度，并写出测量结果表达式。 【解】V? lnV?ln
?4(D2?d2)H?3.1416(2.9952?0.9972)?0.9516?5.961cm3 4?4?ln(D2?d2)?lnH
?lnV2D?lnV2d?lnV1， ， ?2????DD?d2?dD2?d2?HHUV2d?2?1?2?2D?2???2U?????Ud???UH D222V?D?d??D?d??H??2?2.995?0.006??2?0.997?0.003??0.0005??????????2222?2.995?0.997??2.995?0.997??0.9516? ?0.0046UV?0.0046?V?0.0046?5.961?0.027cm3 ?V?5.961?0.027cm3
222222 — 4 —
通常约定不确定度最多用两位数字表示，且仅当首位为1或2时保留两位。尾数采用“只进不舍”的原则，在运算过程中只需取两位数字计算即可。
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