0.5＝0.12.
由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.
(3)因为前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，
所以2.5≤x＜3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
样本数字特征的求解与应用(师生共研)
抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92 (1)成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． (2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：
①分别求出两人得分的平均数与方差；
②根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 1－
【解】 (1) x甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，
5－
x乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
1515
15
22222
s2甲＝[(87－90)＋(91－90)＋(90－90)＋(89－90)＋(93－90)]＝4，
22222s2乙＝[(89－90)＋(90－90)＋(91－90)＋(88－90)＋(92－90)]＝2.故填2.
(2)①由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分．
－－
x甲＝x乙＝
1515
10＋13＋12＋14＋16
＝13；
513＋14＋12＋12＋14
＝13，
5
22222
s2甲＝[(10－13)＋(13－13)＋(12－13)＋(14－13)＋(16－13)]＝4；
22222s2乙＝[(13－13)＋(14－13)＋(12－13)＋(12－13)＋(14－13)]＝0.8.
②由s甲>s乙，可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
(1)众数、中位数、平均数及方差的意义
①平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述； ②平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小． (2)在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论．
1．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
22
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 1－
解析：选C. x甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，
5－
x乙＝(5×3＋6＋9)＝6，
15
122
甲的成绩的方差为(2×2＋1×2)＝2，
5
122
乙的成绩的方差为(1×3＋3×1)＝2.4.
5甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5， 甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差为4，故选C.
2．(2019·贵阳市监测考试)在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图(如图)．若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由．
68＋76＋79＋86＋88＋95－
解：学生甲的平均成绩x甲＝＝82，
671＋75＋82＋84＋86＋94－
学生乙的平均成绩x乙＝＝82，
6
12222222
又s甲＝×[(68－82)＋(76－82)＋(79－82)＋(86－82)＋(88－82)＋(95－82)]＝77，
6
222222
s2乙＝×[(71－82)＋(75－82)＋(82－82)＋(84－82)＋(86－82)＋(94－82)]＝
1
6167－
，则x甲＝3
－
2
x乙，s2甲>s乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知
识竞赛．
巧解平均数和方差
一、找齐法
在计算平均数时，如果这些数字都在某个数字左右摆动，就选取一个数字作为标准进行找齐．
计算数据87，86，90，82，83，85，88，80，79，90的平均数和方差．
【解】 每个数据都减去85后得数据2，1，5，－3，－2，0，3，－5，－6，5，这组数据的平均1
数是(2＋1＋5－3－2＋0＋3－5－6＋5)＝0，故原数据组的平均数为85＋0＝85.
10
4＋1＋25＋9＋4＋0＋9＋25＋36＋25
数据组2，1，5，－3，－2，0，3，－5，－6，5的方差是＝1013.8，这个方差就是数据组87，86，90，82，83，85，88，80，79，90的方差．
找齐法的依据是
－x1＋x2＋…＋xn平均数x＝ n
＝
（x1－a）＋（x2－a）＋…＋（xn－a）＋na
n（x1－a）＋（x2－a）＋…＋（xn－a）＝a＋；
n－2－2－2
（x1－x）＋（x2－x）＋…＋（xn－x）
方差s＝＝
2
n－－－222[（x1－a）－（x－a）]＋[（x2－a）－（x－a）]＋…＋[（xn－a）－（x－a）]
，
n其中a为选取作为标准的数字，在使用找齐法时a的选取可以多种多样，原则是便于计算． 二、方差的简化公式法
1－2－2－2－21222222
方差的一个简化公式是s＝[(x1＋x2＋…＋xn)－nx]＝x－(x)(其中x＝(x1＋x2＋…＋
nnx2n))，只要把方差公式展开进行重组即可证明．
计算数据54，55，53，56，57，58的方差． －254＋55＋53＋56＋57＋58
【解】 法一：x＝≈
63 083.17，x＝55.5，故s＝3 083.17－55.5＝2.92.
法二：每个数据减去55得到新的数据组－1，0，－2，1，2，3，该组数据的方差与原数据组的方－21＋0＋4＋1＋4＋9－－1＋0－2＋1＋2＋322
差相等，且x＝≈3.17，x＝＝0.5，故s＝3.17－0.5＝2.92.
66
2
2
2
2
2
2
2
2
方差反映的是数据组偏离平均值的程度，因此把数据组中的每一个数据都加上或者都减去一个相同的数不影响方差的大小，当我们计算的数据较大时，这个方法能有效地简化运算．
设样本数据x1，x2，…，x2 017的方差是4，若yi＝2xi－1(i＝1，2，…，2 017)，则y1，y2，…，
y2 017的方差为________．
－－
解析：设样本数据的平均数为x，则yi＝2xi－1的平均数为2x－1，则y1，y2，…，y2 017的方差为
11－－－－2222
[(2x1－1－2x＋1)＋(2x2－1－2x＋1)＋…＋(2x2 017－1－2x＋1)]＝4×[(x1－x)＋2 0172 017
－2－2
(x2－x)＋…＋(x2 017－x)]＝4×4＝16.
答案：16
[基
础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评
