在四则运算[15×（4+16）]÷4中，运算顺序是怎样的？ A、先乘后加再除 B、先加后乘再除 C、先乘后除再加 答案：B
【问题提出】A2—21 两个数相除，商如果不是整数和有限小数，为什么就一定是循环小数？ 【释问参考】
做整数除法时，如果除到个位还除不尽，可以在余数后面添0再除，得商的小数部分各位上的数。这些数中每个数的大小都取决于前次除得的余数。因为每次除得的余数（不看计数单位），都必须是小于除数的正整数，而小于除数的正整数只有有限个。所以，除法做了若干次之后，就会出现相同的余数。余数出现了相同的，那就表明：商的小数部分的下一个循环节即将开始。可见，两个数相除，如果商不是整数和有限小数，那么就一定是循环小数。 【思考练习】 22÷7的结果是（） A、整数 B、有限小数 C、循环小数 答案：C
【问题提出】A2—22 怎样化分数为小数？为什么有些分数能化为有限小数，有引起分数不能化为有限小数？ 【释问参考】
如果一个分数的分母只含有质因数2或5，那就可以根据分数的基本性质把它的分母化为10的正整数次幂，从而先把它化为十进分数，再化为有限小数。也可以用分子除以分母的方法，把这个分数化为小数。事实上，对于任何分数，都可以用分子除以分母的办法把它化为小数。分子除以分母时，如果能除尽，则分数被化为有限小数，如果除不尽，则分数被化为（无限）循环小数。为了辨别这两种情况，可以先把分数化为最简分数，如果最简分数的分母只含有质因数2或5，那么这个分数就能转化成分母是10、100、1000??的分数，就能化成有限小数。如果最简分数的分母含有2、5以外的质因数，则此分数不能化为十进分数，也就不能化为有限小数。这时，如果用分子除以分母，结果必然除不尽，得不到整数或有限小数的商，只能得到无限循环小数。 【思考练习】
什么样的分数不能化成有限小数？ A、含有2、5以外的质因数 B、只含有质因数2和5 答案：A
【问题提出】A2—23 怎样化小数为分数？ 【释问参考】
84化有限小数为分数，可以先把它改成十进分数，然后化为最简分数。如4.8=410=45
化纯循环小数的小数部分为分数，分子是一个循环节的数字所组成的数；分母是由数字9组成的数，9的个数等于一个循环
6节的位数。如16.6(6循环)=1692=163
化混循环小数的小数部分为分数，分子是从十分位到第一个循环节末位的数字按原来顺序组成的数，减去小数部分中不循环部分的数字组成的数所得的差，分母是由数字9后面带数字0组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小
264?26900数部分不循环部分的位数。如16.264(4循环)=16
【思考练习】
238=16900119=16450
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0.309(09循环)化成分数结果是( )
17A、55 17B、50
答案：A
【问题提出】A2—24 把0.45(45循环)写成0.454(54循环)对吗? 【释问参考】
给出一个无限循环节小数“0.4545454??”，它的循环节是“45”，还是“54”？我们根据循环小数化分数的法则可知这两个小数化成分数两者结果相等。可见，把“0.4545454??”看成0.45(45循环)和0.4(54循环)都是对的。也就是说，纯循环小数也可能写成混循环小数的形式。但显然在这里写成0.45(45循环)更为简便，更为完美。 【思考练习】
0.34(34循环)和0.343(43循环)结果相等吗？ A、相等
B、不相等 答案：A A2-25-31
【问题提出】A2-25 “整除”、“约数”(“因数”)和“倍数”在小学数学中的解释和在现代数学中的定义有什么不同？ 【释问参考】
整除在现代数学中的定义：“整除”是数论中的一个基本概念。任给两个整数a、b，其中b≠0，如果有一个整数c，使a=bc，就称b整除a，记作b|a。这时，b叫做a的约数(或因数)，a叫做b的倍数。
整除在小学数学中的解释：以住的版本：整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，就说“a能被b整除”，也可以说“b整除a”。如果a能被b整除，a就叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
当前的版本：根据4×3＝12，得出4是12的因数，3也是12的因数。12是4的倍数，12也是3的倍数。 【思考练习】
下面说法正确的是（ C ） A． 12是倍数，3是因数。
B． 12是1.2倍数，1.2是12的因数。 C．12是3的倍数，3是12的因数。
【问题提出】A2－26 怎样判断一个正整数能不能被2、3、5、7、9、11、13整除？ 【释问参考】
能被2或5整除的数的特征］能被2或5整除的正整数的特征，是它的个位数能被2或5整除。 能被4或25整除的数的特征，是它的末两位数能被4或25整除； 能被8或125整除的数的特征，是它的末三位数能被8或125整除； 能被3或9整除的数的特征，是它的各位上的数的和能被3或9整除。
能被7、11、13整除的数特征，是它的末三位数与末三位以前的数字所组成的数相减之差能被7、11、13整除。 【思考练习】
下面哪个数能同时被2、3、25整除？（ C ） A． 111211314 B． 12121275 C．34343400
【问题提出】A2－27 “整除”与“除尽”有什么区别和联系？ 【释问参考】
整除：在小学阶段，“整除”是在自然数范围内讨论的。如果自然数a除以正整数b所得的商为自然数，而余数为零，则称a能被b整除，或b整除a，记作b|a，否则，就称a不能被b整除，或b不能整除a。
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除尽：“除尽”是在讨论整数或小数的除法时出现的一个概念。如果数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数，则称a能被b除尽。
“除尽”包含了“整除”。 【思考练习】
下面的算式是整除的是（A ） ·#￥%??????——**（（））————+++++ A． 12÷3＝4 B．1.2÷3＝0.4 C．12÷5＝2??2
【问题提出】A-28 怎样求一个数的所有的倍数和因数？ 【释问参考】
因为现行小学数学教材是用整数的简洁算式来解释因数和倍数的，所以我们应该从乘法算式出发，去寻求一个数的所有倍数和因数。
如：为了求7的所有倍数，应考虑含有因数7的乘法算式： 7×（ ）＝（ ）
当等号左边的括号里分别填入1、2、3??时，等号右边括号里的积都是7的倍数。 又如，为了求24的所有因数，则需要考虑积是24的乘法算式： （ ）×（ ）＝24
这时，不仅要考虑积是24的乘法口诀，而且要找出积是24的其他的整数乘法算式。因此，在第一组括号里应该试填1、2、3、??直至该数自乘超过24为止。两个括号里的可以填入的所有整数都是24的因数。 【思考练习】
91的因数有哪些，下面正确的是（ C ） A． 1和91 B． 91、13、7 C．1、7、13、91
【问题提出】A2－29 “倍”和“倍数”有什么不同？说“5是4的1.25倍”或者“5是4的倍数”对吗？ 【释问参考】
倍的意义：如果a=kb（k是一个数）就说“a是b的k倍”。这里的“k”可以是整数，也可以是小数、分数或无理数。a、b可以是两个数，也可以是两个同类的连贯量或离散量。并且习惯上，上述说法用于k≥1的场合。
倍数的意义：如果a、b、q是整数，并且有a=bq，则称“a是b的倍数”、“b是a的因数”。当然，也可以说“a是q的倍数”“q是a的因数”。
“倍”和“倍数”虽然都是乘法算式引伸出来的概念，但前者是有集或实数集上的乘法，后者是整数集上的乘法。 【思考练习】
下面哪句话是正确的？（ A ） A． 5是4的1.25倍。 B． 5是4的倍数。 C．5是1.25的倍数。
【问题提出】A2－30 “约数”和“因数”有什么区别和联系？ 【释问参考】
倍数和约数是两个整数有整除关系时引伸出来的概念；若b整除a，则称b是a的约数，a是b的倍数。“（）能被（）整除”“（）整除（）”与“（）是（）的约数”“（）是（）的倍数”指的是两个整数之间的同一种关系。 因数是与实数乘法有关的一个概念：设a、b、c都是实数，若a＝b×c,则a叫做b与c的积， b、c叫做积的因数。 把因数的概念用于整数乘法，则称为约数。
由于整数除法与整数乘法可以相互转化，所以在讨论整除问题时，有人不再区约数和因数。 【思考练习】
根据“24÷4＝6” 下列说法正确的是（A、B、C ） A． 24是4的倍数。
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B． 4和6都是24的约数。 C．4是24的因数。
【问题提出】A2—31 “单数”、“双数”与“奇数”、“偶数”有什么区别和联系？ 【释问参考】
偶数、双数：能被2整除的整数叫做偶数。偶数有正偶数、负偶数和零。正偶数也叫双数。双数就是能被2整除的正整数。0不是双数；0是偶数，但不是最小的偶数。
奇数、单数：不能被2整除的整数叫做奇数。正奇数也叫单数。单数就是不能被2整除的正整数。 【思考练习】 A．奇数 B.偶数
⑴两个奇数的和或差都是（ B ）。 ⑵两个偶数的和或差都是（ B ）。
⑶一个奇数与一个偶数的和或差都是（ A ）。 ⑷两个奇数的积是（ A ）。
⑸一个奇数与一个偶数的积或者两个偶数的积都是（ B ）。
【问题提出】A2—32 “最小的质数”、“最小的偶数”与“最小的倍数”各指什么？为什么“0是任何一个整数的倍数”，但不是几个整数的最小公倍数？ 【释问参考】
最小的质数（偶质数或偶素数）：质数中最小的一个叫“最小的质数”。最小的质数是2。它是唯一能被2整除的质数，所以又叫“偶质数”。
小学数学中定义倍数时，还没有引入负数的概念。所以，在a的倍数中最小的是0。但0不能作为几个分数的公分母，所以这样的“最小公倍数”在异分母分数的加减法中毫无用处。因此，在“倍数”、“公倍数”与“最小公倍数”的定义中，应该在适当的地方把0排除。
方案一：在定义“倍数”时，就将0排除：在a的倍数中，最小的一个是a。
方案二：在定义“公倍数”时将0排除。“自然数a与任何一个自然数的乘积都叫做a的倍数。”因此，在a的倍数中最小的0。“几个数除0以外的公共的倍数叫做这几个数的公倍数。”“几个数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。”
方案三：定义“最小公倍数”时才排除0。 以上三个方案中，似乎方案二更便于小学生理解。
经过这样的规定，就使得0虽然是任何一个整数的倍数，但不是几个整数的最小公倍数。 【思考练习】
最小的质数是（ B ）。 A．1 B．2 C．3
【问题提出】A2—33 为什么说“偶数都是合数、“质数都是奇数”是错误的？ 【释问参考】
在整数中，奇、偶数是以它能否被2整除来定义的。质数、合数是以一个自然数因数的个数来区分的。可见，这两个概念的定义不同。奇数不一定是质数，如9、21、33都不是质数；质数也不一定是奇数。偶数不一定是合数，如2是偶数但不是合数，而是质数；合数也不一定是偶数。 【思考练习】
下面哪一个数是质数？（ B ）。 A．1 B．2 C．51
【问题提出】A2—34 为什么“1既不是质数，也不是合数”？ 【释问参考】
人们在研究正整数的分类时，按它的正约数个数的多少分成以下三类：（1）1：它只有一个正约数；（2）质数：除了1和它自身两个正约数外，没有其他的正约数；（3）合数：除了1和它自身外，还有其他的正约数。
如果将1视为质数，那么在把合数分解为质因数的积时会带来混乱。如将18分解质因数，结果可以是下面的任一种：18=2×3×3, 18=1×2×3×3,18=1×1×2×3×3??
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