C．十七分之一 正确答案：A。
【问题提出】A1－24 “百分数”是不是一种数？“百分数就是分母是100的分数”吗？“百分数”“百分比”和“百分率”有什么不同？“成数”“千分数”“ppm”“bpm”各指什么？ 【释问参考】
“百分数”“百分比”“百分率”表示一个数是另一个数（或一个量是另一个同类量）的百分之几的数叫做百分数。百分数通常用来表示两个数（或两个同类量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。
百分数与分数的区别区别在于：分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以表示具体的数量；而百分数只用于表示两个量的倍比关系。当需要用百分数表示数量时，往往称之为“a个百分点”。 “成数”“几成”就是十分之几。
“ppm”“bpm”在科学技术研究和运用上，为了表示微量元素的含量，还用到更小的单位“百万分之一”（即ppm），和“十亿分之一”（即bpm）。 【思考练习】
下面说法正确的是（ ） A．今天班级人数出勤率为101%。 B．今年农产品比去年增长了八成。 C．有一篮子鸡蛋200%千克 。 正确答案：B。
【问题提出】A1－25 自然数大小的“基数意义”和“序数意义”有什么区别和联系？怎样证明自然数没有最大的？ 【释问参考】
“自然数大小的基数意义”：每个自然数都是所有可以建立一一对应的有限集组成的集，或者说是一类可以建立一一对应的有限集的共同性质。
“自然数大小的序数意义”°自然数的序数理论中，自然数大小是根据自然数列中的前后位置来定义的。 自然数没有最大的，自然数列是无限的。 【思考练习】
上体育课，20个人排成一排，那么20指（ ） A．只表示“一共有20个人”；
B．一共有20个人，也可以表示，最后一个是第20个； C．只表示“最后一个是第20个人”。 正确答案：B。
【问题提出】A1－26怎样构造最小的（或最大的）一位数、两位数、三位数??n位数？ 【释问参考】
在一位数1、2、3??9中，显然，最小的是1，最大的是9。 两位数中，最小的是10，最大的是99。
一般地，在n位数中，最小的是10n1，最大的是10n－1。
－
【思考练习】
最大的五位数是（ ），最小的六位数是（ ） A．99999 B．100000 C．100001 正确答案：A、B。
【问题提出】A1－27 为什么多位数大小的比较法则推广到小数大小的比较，只适用于有限小数，不适用于无限小数？“0.59(9循环)＜0.6”对吗？ 【释问参考】
“多位大小的比较”多位数大小的比较法则如下：（1）如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大；（2）如果两个多位数的位数相同，则最高位上的数较大的数较大；（3）如果最高位上的数又相同，则比下一位数。下一位数较大的数较大，
9
依次类推；（4）如果两个多位数的位数相同，并且各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个多位数相等。
“有限小数大小的比较”：（1）如果两个有限小数的整数部分相等，则比十分位上的数，十分位上的数大则大；（2）如果两个有限小数的十分位上也相等，就比较百分位上数，??依次类推。
“无限小数大小的比较”：多位数大小的比较不能推广到无限小数大小的比较。应该把无限小数改写成分数来比较。而0.59(9循环)＝0.6。 【思考练习】
下列比较错误的是（ ） A．0.9（9循环）＝1 B．0.69（9循环）＝0.7 C．0.9（9循环）＜1 正确答案：C。
【问题提出】A－28 分数的大小如何定义和判定？ 【释问参考】
“两个分数大小的定义及判定”：两个正分数q分之p与s分之r,当ps=rq时，就说这两个分数相等；如果ps≠rq，说明两个分数不相等；如果ps＞rq，有q分之p＞s分之r；如果ps＜rq，有q分之p＜s分之r。 【思考练习】
下面比较正确的是（ ）
A．六十六分之六十五＞七十七分之七十六 B．六十六分之六十五＜七十七分之七十六 C．六十六分之六十五＝七十七分之七十六 正确答案：B。
【问题提出】A1－29 最小的计数单位是什么？最大的计数单位是什么？真分数有没有最小的？有没有最大的？ 【释问参考】
“自然数的单位和计数单位”：“1”是自然数的单位，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。“1”也是自然数的最小的计数单位，因为一、十、百、千、万等等都是自然数的计数单位，其中最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。 “真分数”：分子小于分母的分数叫做真分数。因为自然数没有最大的，所以分数单位没有最小的，而最小的真分数就是最小的分数单位，所以真分数既没有最小的，也没有最大的。 【思考练习】
下列分数中，分数单位最大的是（ ） A．七分之八 B．七十七分之八十八 C．一千分之九百九十九 正确答案：A。
【问题提出】A2－1 怎样定义四则运算？怎样得出四则运算中各部分间的关系？ 【释问参考】
“自然数的基数理论中加法的定义”：设A、B分别表示以a、b为基数，且无公共元素的集合，C是A、B并集，则C的基数c称为a、b的和，记为c＝a＋b。
小数数学中讲“把两个数合并成一个数的运算叫做加法”是不妥的。实际上，合并的是两个集合，而不是两个数。 “在自然数的基数理论中减法的定义”：设a、b两个自然数。如果有一个这样的自然数c，能使b+c=a，就说c是a与b的差，记作a-b=c。
“在自然数基数理论中乘法的定义”：b个相同加数a的和叫做a与b的积。
“在自然数基数理论中除法的定义”：设a、b是两个自然数，b≠0。如果有一个这样的自然数c，能使b×c=a，就说c是a与b的商。 【思考练习】
下面表示加法、乘法、减法、除法中各部分关系错误的是（ ） A．加数＋加数＝和
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B．被减数＝减数＋差 C．积＝加数×加数 正确答案：C。
【问题提出】A2-2 “运算”、“计算”、“演算”有什么不同？ 【释问参考】
运算：定义在集合A上的运算是指从直积集合A×A到集合A的一种对应。如果对于集合A中的任何两个元素的序偶，即A×A的一个元素（a,b），集合A中都有唯一确定的元素c和它对应，就说在集合A上定义了一种运算。
例如，对于自然数集N中的任何两个自然数a,b，都有这样一个唯一确定的自然数c，使a＋b=c。所以加法是定义在自然数集N上的一种运算。然后，加法被推广到整数集、有理数集、实数集和复数集。
四则运算和算术运算：加、减、乘、除四种运算统称为四则运算或算术运算。小学数学中所说的“运算”通常就是指四则运算或算术运算，计算机中的运算器就是进行四则运算的装置。
计算：根据算式中所给的数据和运算，按照一定的程序操作，以求出运算结果的过程叫做“计算”。
演算：在小学数学中，人们常常用“演算”表示求一个算式的运算结果的操作过程。除了四则运算，“演算”还包括约分、通分之类的等值变换，以及求最大公约数或最小公倍数、辗转相除法等操作。
在数学科学中，“演算”还用以表示某种理论体系。如命题演算、类演算等。此外，“演算”的英文单词”calculus”还用来表示“微积分学” 【思考练习】
32（3的平方）这是一种（ ） A.运算 B.计算 C.演算 正确答案：
【问题提出】A2-3 “口算”、“心算”、“简算“、”速算“、”验算“有什么不同？ 【释问参考】
口算：不借助计算工具，直接通过思考算出得数的一种计算方法。口算是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。
心算：口算也称心算。
简算：即“简便计算”，又称“速算”，指的是一类快速、巧妙的计算。
简算有多种不同的方法和不同的理论依据。它与各种计算法则所包含的“程序性操作“不同，没有常规的思维模式可套，也没有现成的操作程序可循。它需要具有对数据、运算以及运算顺序的敏感和对算式整体上的洞察力和敏锐的直觉，要求人们探索和发现，以找出简算的途径。如：6154×11=67694 速算：“简算”又称“速算”。
验算：式题计算或解答问题后，为了确保结果正确，采用一定的方法核对。这种核对的过程叫做“验算”。 【思考练习】
先算一算，再根据规律口算出下面几题的答案。 15×15= 25×25= 35×35=
根据你发现的规律口算：65×65= 75×75= 95×95=
【问题提出】A2-4 为什么口算都是从高位算起，而竖式笔算只有除法是从高位算起，加、减、乘的竖式笔算都是从低位算起？ 【释问参考】
多位数的四则计算总是被归结为各个数位上的一位数的计算。
口算既可以从高位算起，也可以从低位算起。只不过从高位算起更有利于抓住数的主要部分，使计算结果不至于过分偏离正确的得数。
加、减、乘的竖式笔算既可以从低位算起，也可以从高位算起。但从高位算起会增加处理进位的麻烦。 用除法竖式求商必须从高位算起。以便从高位到低位，一次求出商的每一位上的数。 【思考练习】
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用竖式计算时，从高位算起的运算是（ ） A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法
【问题提出】A2-5 在数的计算中，“横式”、“竖式”、“递等式”各指什么？ 【释问参考】
横式：用运算符号把参与运算的数连接起来，从左往右排列的式子叫做横式。横式可以笔算，也可以口算，并把算出的得数写在等号的后面。如53＋24=77.
竖式：把需要计算的数和运算符号按规定的格式写出，再按运算法则进行计算，并把计算的中间过程与最后结果记录下来。这样的算式叫做竖式。竖式通常运用笔算进行。
竖式计算的实质，是将当前对于两个数的计算归结为它们各个数位上数的计算，以求出得数的各个数位上的数。 递等式：在进行四则混合运算时，要按所要求的运算顺序逐步计算，并用计算结果代替原式中的部分算式，用等号与原式相联，直至求出最后结果。这样的书写形式叫做递等式。
一般情况下，竖式用于数目较大、数位较多的四则计算的笔算，用于口算比较困难的场合。递等式则用于四则混合运算。 【思考练习】
四则混合运算所采用的计算方式是（ ） A.横式 B.竖式 C.递等式
【问题提出】A2-6 “精确计算”、“近似计算”和“估算”的主要区别是什么？ 【释问参考】
精确计算：为解决实际问题而进行数值计算时，有时需要得到与实际情况完全符合的准确数，有时只需要或只能得到与准确数相差不多的近似数。如：购物时该付多少钱，就是需要精确计算才能回答的问题。而根据购物计划，大致要准备多少钱，只需通过估算求得。
为了通过计算得到准确数，首先要求计算的原始数据准确无误。其次，所用的计算公式要能准确表达有关的几个数量间的关系（而不是“近似公式”），并且，计算过程中的每一步都必须按相关的计算法则正确进行。
近似计算：在工程技术的相关计算中，所用的原始数据大多不是准确数。许多数据也不要求完全准确，允许有一定的误差，只要误差不超出规定的范围就可以了。为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则。这就是近似计算。
估算：估算是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或计算的结果作出估计或大概的推断。如：参加一次旅游，大概需要多少费用？就是一个需要通过估算来解决的问题。
总之，精确计算得到的是准确数；近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数；如果对计算结果的误差范围也没用提出要求，那就可以用估算来解决。
估算与近似计算的比较：“估算”是粗略的口算；“近似计算”则是不完全精确的笔算或机算。
估算和近似计算的计算结果可以是接近准确得数的某一个数；也可以使包含准确得数的某个区间的两个端点。 估算与近似计算的主要差异有两点：
①“近似计算”对计算结果的精确程度有一定 要求，计算结果的绝对误差或相对误差不允许超出某个界限；但对“估算”结果的精确程度一般没有提出明确的要求。
②估算一般用口算进行；而近似计算往往用笔算或机算完成。
科学技术领域的复杂计算，大多数是要求达到一定精确度的近似计算。计算结果一般不可能完全准确，主要原因是在计算的原始数据有许多是实验或测量所得的近似数。而且，计算所依据的公式或所用的方法，有些也只是近似公式或近似的方法。 【思考练习】
要求做一个长方体铁皮盒子所需要的材料，我们一般采用（ ） A.精确计算 B.近似计算 C.估算
【问题提出】A2-7 怎样处理好“算法多样化”与“算法系列化”之间的关系？ 【释问参考】
2001年颁布的数学课程标准提倡“算法多样化”和“解题策略多样化”。这对于拓展学生的解题思路，培养思维的灵活性、发散性和创造性都是有益的。不过，多种不同的算法往往反映了不同的思维水平。尽管在训练学生掌握一种算法的初期，应该允许学生达到不同的思维水平，允许学生运用其自身理解得最快的某种算法，但从不断提高学生的理性思维水平的根本目标来看，一个个引导学生逐步掌握思维水平更高的算法，而不应该以学生主观上的“喜欢”作为选择算法的主要依据。
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