北京市海淀区2007-2008学年高三年级第一学期期末练习
数学（理科） 2008.01
三 （15） （16） （17） （18） （19） （20） 学校： 班级： 姓名：
题号 分数 一 二 总分
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（1）设集合A?{x|≤1≤x( )
（A）a?1 （B）a≤1 （2）函数y?co?4sx?（ ）
（A）
2?}B,≥x{x|若aA?B，则a的范围是
（C）a?2 （D）a≤2
?????图象的两条相邻对称轴间的距离为 3?????????????（3）在边长为2的正三角形ABC中，设AB?c,BC?a,CA?b,则a?b+b?c+c?a等
于（ ）
(A) ?3
（4）设（ ）
（A）4i （B）?4i (C)
（5）设m、n是不同的直线，?、?、?是不同的平面，有以下四个命题：
① 若?//?,?//?, 则?//? ②若???，m//?，则m??
③ 若m??,m//?，则??? ④若m//n,其中真命题的序号是（ ）
(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③
6
(D) ?6
i
为虚数单位，则
(B) 0
(C)1 (D) 3
??? （B） （C） （D）? 842?1?i?4展开式中的第三项为
n??，则m//?
x2y2（6）已知点A?0,b?，B为椭圆2+2=1?a?b?0?的左准线与x轴的交点，若线段AB
ab的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为
( )
（A）3 （B）
（7）已知函数f(x)?333 （C） （D） 234x2?1?x≥1?，f?1?x?为f?x?的反函数，则函数y?x与同一坐标系中的图象y?f?1??x?（ ）
在为
yyyy1O1x1O1x1O-1x1xO1（A） （B） （C） （D）
(8) 已知函数y?f(x)是定义在[a,b]上的增函数，其中a,b?R,且0?b??a.设函数
F(x)?[f(x)]2?[f(?x)]2，且F(x)不恒等于0，则对于F(x)有如下说法：
①定义域为[?b,b] ②是奇函数 ③最小值为0 ④在定义域内单调递增
其中正确说法的个数有 （ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
x2y2（9）双曲线??1的一个焦点到一条渐近线的距离是 .
94（10）在?ABC中， A?C?2B，BC?5,且?ABC的面积为103，则B? ；
AB? .
??|x?1|（11）已知函数f(x)??2?x?1为 .
(x≤0),(x?0), 那么不等式f(x)?0的解集
?|x|?2≤0?（12）设不等式组?y?3≤0所表示的平面区域为S,则S的面积为 ；若A，B为
?x?2y≤2?S内的两个点， 则|AB|的最大值为 .
（13）已知P,A,B,C是以O为球心的球面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，且
PA?PB?PC?2，
则球O的半径为 ；球心O到平面ABC的距离为 （14）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减
（如“321”）顺序排列的数的个数是 个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第____个数. （用数字作答）
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）
已知向量a?(cosx?2sinx,sinx),b?(cosx?sinx,2cosx),设函数f(x)?a?b. (I) 求函数f(x)的单调递增区间；
(II) 求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的集合. （16）（本小题共14分）
如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形， SA?底面ABCD，SA?AB, 点M是SD的中点， AN?SC，且交SC于点N .
（I） 求证： SB//平面ACM；
（II） 求二面角D?AC?M的大小； （III）求证：平面SAC⊥平面AMN.
SNMAB
D（17）（本小题共12分） C某城市有30﹪的家庭订阅了A报，有60﹪的家庭订阅了B报，有20﹪的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭.
（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率； （Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；
（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率.
（18）（本小题共14分）
已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，?ABC的三个顶点都在抛物线上，且?ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x?y?20?0.
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO?OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点.
（19）（本小题共14分）
设x1、x2(x1?x2)是函数f(x)?ax?bx?ax(a?0)的两个极值点. （I）若x1??1,x2?2，求函数f(x)的解析式； （II）若|x1|?|x2|?22，求b的最大值;
（III）设函数g(x)?f'(x)?a(x?x1)，x?(x1,x2)，当x2?a时，求证：
322g(x)≤
1a(3a?2)2. 12
（20）（本小题共14分）
已知定义在R上的函数f(x)满足：，f(1)?5，且对于任意实数x,y，总有 2f(x)f(y)?f(x?y)?f(x?y)成立.
（I）求f(0)的值，并证明函数f(x)为偶函数；
（II）定义数列{an}：an?2f(n?1)?f(n)(n?1,2,3,?)，求证：{an}为等比数列； （III）若对于任意非零实数y，总有f(y)?2.设有理数x1,x2满足|x1|?|x2|，判断
f(x1)和f(x2)的大小关系，并证明你的结论.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理科） 参
2008.01
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.） 题号 答案 (1) B (2) B (3) A (4) D (5) D (6) C (7) A (8) C 考答案及评分标准
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
