4.2 指数函数曲线拟合
在曲线拟合工具箱界面单机fitting按钮，在Type of fit选项框中选取拟合方式Exponential(指数)， 指数拟合有两种函数a。拟合效果图如图5。 *exp(b*x)和a*exp(b*x)?c*exp(d*x)
图5 指数函数拟合
曲线fit1的指数拟合公式a曲线fit2的指数拟合公式a，*exp(b*x)，*exp(b*x)?c*exp(d*x)从图形上看，曲线fit1指数拟合曲线不适合本文的数据集，所以我们选取曲线fit2的指数拟合方式。
Fit2指数曲线拟合并没有通过每一个数据点遗漏的数据点较多，只是近似的经过数据点。 拟合参数结果如下： General model Exp2:
f(x) = a*exp(b*x) + c*exp(d*x) Coefficients (with 95% confidence bounds):
a =-11.61 (-4075, 4052) b =-0.1021 (-5.312, 5.107) c =15.01 (-4037, 4067) d =-0.1368 (-5.735, 5.462)
6
Goodness of fit:
SSE（误差平方和）: 0.0009876 R-square（相关指数R）: 0.9962
Adjusted R-square（调整自由度以后的相关指数R）: 0.9943 RMSE（根的均方误差）: 0.01283
4.3 最小二乘法多项式曲线拟合
在曲线拟合工具箱界面单机fitting按钮，在Type of fit选项框中选取拟合方式为polynomial（多项式）多项式拟合可以从一阶到九阶，在拟合结果界面中有误差平方和SSE的值，从SSE值的大小比较中选出最优的最小二乘法多项式曲线拟合。本文直接采用MATALB曲线拟合工具想对其进行曲线拟合并截取最小二乘法中二次多项式曲线拟合和四次多项式曲线拟合效果图，拟合效果如图6。
图6 最小二乘法曲线拟合
从图形上看红色曲线明显遗漏多个数据点，蓝色曲线经过每个数据点，说明最小二乘法四次多项式比二次多项式拟合效果好。下面从参数结果图上对两种拟合方式进一步比较。
7
最小二乘法二次多项式曲线拟合结果如下： Linear model Poly2:
f(x) = p1*x^2 + p2*x + p3
Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =0.01682 (0.01306, 0.02058) p2 =-0.434 (-0.5065, -0.3615) p3 =2.297 (1.953, 2.641) Goodness of fit: SSE: 0.0005847 R-square: 0.9978 Adjusted R-square: 0.9971 RMSE: 0.009139
最小二乘法四次多项式曲线拟合如下： Linear model Poly4:
f(x) = p1*x^4 + p2*x^3 + p3*x^2 + p4*x + p5 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =-0.001189 (-0.002519, 0.0001416) p2 =0.04865 (-0.002567, 0.09987) p3 =-0.7211 (-1.454, 0.01222) p4 =4.478 (-0.1476, 9.104) p5 =-9.809 (-20.66, 1.04) Goodness of fit: SSE: 8.619e-005 R-square: 0.9997 Adjusted R-square: 0.9994 RMSE: 0.004152
最小二乘法二次多项式曲线拟合的SSE（误差平方和）为0.0005847，最小二乘法四次多项式曲线拟合的SSE=8.619e-0005，显然最小二乘法中四次多项式的误差平方和比二次的更接近于0，误差平方和SSE越接近于零曲线拟合效果越好。不管从图形还是参数的比较都可以得出，最小二乘法中四次多项式曲线拟合的效果比二次多项式拟合好。
4.4 内插式曲线拟合
如果不考虑曲线拟合参数只想得到一条光滑且通过各个数据点的曲线，可以采用内插式曲线拟合，这种拟合方式也成为非参数拟合。内插式法有linear(线性内插)、Nearest neighbor（最近邻内插）、Cubic spline（三次样条内插）和Shape-preserving（分段三次艾米尔内插）。内插式曲线拟合效果如图7。
8
图7 内插式曲线拟合
红色曲线是用最近邻内插法Nearest neighbor得到的曲线，蓝色曲线是用三次样条内插拟合法得到的拟合曲线。这两种内插法拟合效果差别较大，具有不同的用途。最邻近内插法的内插点在最相邻两个数据点之间，最后得到一个锯齿的图形。倘若不考虑曲线的物理意义，则可以考虑三次样条内插法拟合。
4.5 平滑样条曲线拟合
本文用默认的平滑参数、平滑参数为0.5和平滑参数为1分别对数据集进行平滑内插拟合，图中fit6为默认平滑参数的拟合结果，fit7为给定参数0.5时的拟合曲线，fit8为给定平滑参数为1的拟合曲线。平滑样条曲线拟合效果如图8。
9
