1 引言
在应用领域中，经常面对大量的数据，我们总希望能找到一个解析函数用它来描述这些点的变化规律且可以用来预测，这就要用到曲线拟合[1]。曲线拟合的目的是找到一条光滑的曲线使它能够最佳的拟合数据，但不要求该曲线一定要经过每一点。曲线拟合应用非常广泛，在计算科学领域中占有非常重要地位。人们对某一未知领域的研究，为了探索其内在的规律，建立了相应的数学模型，而模型中往往含有某些待定的参数，要确定这些参数，就要用到数据拟合[2]。可见曲线拟合方式的全面研究对科学计算具有重大的现实意义。
MATLAB作为一种用于数值计算和可视化图形的高级计算软件。它有着开放式可扩充体系结构，又可以灵活修改、补充和扩展 MATLAB能力[3]。MATLAB提供了两种曲线拟合方法：一种是采用函数形式，使用编程对数据进行拟合，使用这种方法对拟合函数要有较好的了解；还有一种是用图形窗口进行操作，具有简便、快速，可操作性强的优点[4]。
本文研究的内容是利用MATLAB对曲线进行最小二乘法拟合，指数函数拟合，内插式曲线拟合和平滑样条式曲线拟合，相互比较得到最优的拟合方式。
2 软件介绍
2.1 MATLAB简介
MATLAB的名字是由Matrix和Laboratory两个词的前三个字母组成的[5]。MATLAB作为一种科学计算软件，它主要用于矩阵的运算及控制和信息处理领域分析及设计。以模块化的计算方法、丰富的矩阵运算、可视化与智能化的人机互换功能、图形绘制和数据处理函数，成为系统设计和仿真领域中最受欢迎的软件系统。
MATLAB是“矩阵实验室”（Matrix Laboratoy）的缩写，它是一种以矩阵运算为基础的交换式程序语言，专门针对科学、工程计算机绘图的需求[6]。MATLAB的主要特点是简洁和智能化，它适应科技人员的思维方式和书写习惯，使编程和调试效率大大提高。它采用解释方式工作，输入程序马上得出结果，人机交互性能好，因此深得科技人员的喜爱，尤其是它可以适应多种平台，随计算机软硬件的更新及时的升级。MATLAB语言在国外的大学，特别是用数值计算频繁的电子信息类学科中，它已成为每个学生的工具了。据调查在工业部门和设计研究单位，MATLAB已被认为是高效研究和开发的首选工具。学习掌握MATLAB软件，可以说在科学计算软件工具上与国际相接轨。
2.2 MATLAB曲线拟合工具箱简介
采用MATLAB做曲线拟合可以内建函数或曲线拟合工具箱(Curve Fitting Toolbox)。这个工具箱集成了用MATLAB建立的图形用户界面GUIS和M文件函数[7]。GUIS界面是一个可视化的图形界面，具有较强的图形拟合功能：①用散点图来表示数据集；②用残差和置信区间可视化地估计拟合结果的好坏[8]；③采用多种拟合方式对数据拟合。利用GUIS界面，可以快速地实现许多基本的曲线拟合。
访问曲线拟合工具箱之前，输入一份供分析的数据；打开曲线拟合工具箱，请输入cftool。该命令可以打开Curve Fitting Tool窗口(见图1)。然后选择Data按钮，打开Data窗口可以访问工作区中的数据并从下拉表中选择变量X、Y（见图2）。在Data set name位置指定一个数据集名称，否则MATLAB将默认一个数据集名称。这时关闭Data窗口。回到Curve Fitting Tool窗口，选择Fitting按钮，打开的
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窗口中可以选择拟合方法。这时单击New fit按钮，并从Type of fit的下拉列表中选择一种拟合方式。
可以试用多种拟合方式，以找出最佳图形。以直线拟合为例，选择一种插值方式，使曲线进过所有的数据点。曲线拟合结果如图3所示。
例：x=0:6;
y=[0 10 30 55 67 89 120]; cftool
图1 Curve Fitting Tool窗口
图2 Data窗口
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图3 直线拟合
3 曲线拟合
3.1 曲线拟合理论
曲线拟合就是拟合测量数据的曲线。在寻找自变量和因变量关系的过程中，由于观察数据
(x,y)(i?0,1,??,n)来源于实验，往往不精确，因此不要求函数关系y?f(x)经过所有的观测点，而ii是只要求在观测点上的误差
按某种给定的标准最小[9]。如果记??y?f(x)(i?0,1,2,??,n)iii，研究中就是要寻找使范数?最小的函数关系式。这就是我们通常说的曲线逼近或??(?,?,??,?)01n曲线拟合。拟合的标准通常随着范数的不同而不同，范数越大计算就越难，所以经常使用的拟合方式是最小二乘拟合。
3.2 最小二乘法拟合
在工作中,通常情况是要找出两个量之间的关系。这时需要对两个量的多组对应数据采用经验公式表示，因为经验公式形式较紧凑，便于从理论知识上进一步分析。
x,y)(i?1,2,??,n)曲线拟合的最小二乘法可以描述为：根据已知的数据组(，选一个近似函数ii?(x)，使得
???n2i?[yi?i?1i?1n2?(xi)]
最小。这种近似函数的方法称为曲线拟合（Curve Fitting）的最小二乘法，函数?(x)称为这组数据的最小二乘函数（Method of Least Squares）[10]。
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用最小二乘法做曲线拟合首先要确定拟合模型f(x)，通常根据各科的知识来大致确定函数的所属类，倘若不具备这些知识，则从问题的运动规律以及给定数据的散点图来确定拟合方式。
4 基于MATLAB的曲线拟合
4.1 曲线拟合数据来源
霍尔式传感器是由两个环形磁钢组成梯度磁场和位于梯度磁场中的霍尔元件组成[11]。当通过电流恒定时，霍尔元件则在梯度磁场中上下移动，其输出的霍尔电势V值取决于其在磁场中位移量X值。下面就通过霍尔式传感器的特性试验所获取的数据集，来看一下曲线拟合工具箱在数据处理方面的应用。相关数据如表1。
表1 采样点
X 7.37 7.87 8.37 8.87 9.37
V 0 -0.07 -0.15 -0.22 -0.29
X 9.87 10.37 10.87 11.37 11.87
V -0.36 -0.40 -0.44 -0.46 -0.48
打开MATLAB软件，在主窗口输入，如下： >>x=7.37:0.5:11.87;
>>v=[0 -0.07 -0.15 -0.22 -0.29 -0.36 -0.40 -0.44 -0.46 -0.48]; >> cftool
按回车键打开曲线拟合工具箱，选取相应的变量可获得散点图如图4。
图4 变量可获得散点图
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