专题14 概率与统计（选择题、填空题）
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A．0.5 C．0.7 【答案】C
【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，1个最低分，7个有效评分与9个原始评分相比，从9个原始评分中去掉1个最高分、得到7个有效评分．不变的数字特征是 A．中位数 C．方差 【答案】A
【解析】设9位评委评分按从小到大排列为x1?x2?x3?x4
B．平均数 D．极差
B．0.6 D．0.8
?x8?x9．
?x8，中位数仍为x5，A正确；
则①原始中位数为x5，去掉最低分x1，最高分x9后剩余x2?x3?x4?②原始平均数x?1(x1?x2?x3?x491?x8?x9)，后来平均数x??(x2?x3?x47?x8)，平均数
受极端值影响较大，?x与x?不一定相同，B不正确； ③S?21[(x1?x)2?(x1?x)2?91?(xq?x)2]，s?2?[(x2?x?)2?(x3?x?)2?7?(x8?x?)2]，由②
易知，C不正确；
④原极差?x9?x1，后来极差?x8?x2，显然极差变小，D不正确．故选A． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
X P 则当a在（0，1）内增大时， A．D(X)增大
0 1 3a 1 31 1 3
B．D(X)减小
D．D(X)先减小后增大
C．D(X)先增大后减小 【答案】D
【分析】研究方差随a变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二次函数的图象和性质解题．题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得E(X)?则D(X)?(1?a， 31?a11?a11?a1211?0)2??(?a)2??(?1)2??(a?)2?， 333333926则当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D．
a21(a?1)22a2?2a?2213方法2：则D(X)?E(X)?E(X)?0?????[(a?)2?]，
33999242则当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D．
【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．
4．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．C．
1 121 15
B．D．
1 141 18【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，
随机选取两个不同的数，共有种方法，
因为7?23?11?19?13?17?30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法， 故所求概率为
31=，故选C． 4515【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．
5．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A
【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的故选A．
6．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互
，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P(X?4)?P(X?6)，则p? A．0.7 C．0.4 【答案】B
【解析】∵D(X)?np(1?p)，∴p?0.4或p?0.6，
46P(X?4)?C10p4(1?p)6?P(X?6)?C10p6(1?p)4，
B．0.6 D．0.3
?(1?p)2?p2，可知p?0.5，故p?0.6．故选B．
7．【2018年高考浙江卷】设0?p?1，随机变量ξ的分布列是
ξ P 则当p在（0，1）内增大时， A．D（ξ）减小 C．D（ξ）先减小后增大 【答案】D 【解析】
，
B．D（ξ）增大
0 1 1 22 p 21?p 2D．D（ξ）先增大后减小
，，∴先增大
后减小，故选D．
8．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2
B．p1=p3
