课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
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1．已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
1111A．－ B. C. D．－
3322
x2．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4－1，则f(－5.5)的值为( )
1
A．2 B．－1 C．－ D．1
2
3．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3) A．f(－1) 4．[2011·辽宁卷] 若函数f(x)＝ x2x＋1 x－a为奇函数，则a＝( ) 123 A. B. C. D．1 234能力提升 2??x－x＋1x>0， 5．已知f(x)＝?则f(x)为( ) 2 ?－x－x－1x<0，? A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定奇偶性 6．[2011·济南二模] 设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝( ) 11 A．10 B. C．－10 D．－ 1010 1 fx，且当x?1?7．[2011·长春二调] 已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f?? ?2? ＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为( ) 2?? A.?0，?∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) 2?? ?1??1?C.?0，?∪(2，＋∞) D.?0，? ?2??2? n3 8．若x∈R，n∈N＋，规定：Hx＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如：H－3＝(－3)·(－ 7 2)·(－1)＝－6，则函数f(x)＝x·Hx－3( ) A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2 9．[2011·安徽卷] 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x－x，则f(1)＝________. 10．[2011·岳阳一中模拟] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上 2 单调递增，则不等式f(x－3x＋2)>f(6)成立的x的取值范围是________． 11．已知定义在R上的函数f(x)满足： ①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称； ?3??3?②对?x∈R，f?－x?＝f?＋x?成立； ?4??4? 1 7??5 ③当x∈?－，－?时，f(x)＝log2(－3x＋2)， 4??2 则f(2012)＝________. －x＋2x，x>0，?? 12．(13分)已知函数f(x)＝?0，x＝0， ??x2＋mx，x<0 2 是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 难点突破 1??1 13．(12分)对任意实数x，给定区间?k－，k＋?(k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x2??2 的给定区间内整数之差的绝对值． ?11?(1)当x∈?－，?时，求出函数f(x)的解析式； ?22? 1??1 (2)当x∈?k－，k＋?(k∈Z)时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理 2??2 由； (3)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论． 2 课时作业(六)A 【基础热身】 2 1．B [解析] ∵函数f(x)＝ax＋bx在[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a11 ＝0，即b＝0，a＝.∴a＋b＝. 33 0.5 2．D [解析] f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝4－1＝1. 3．D [解析] 函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3) 4．A [解析] 法一：由已知得f(x)＝ ???1 于该函数定义域为?x?x≠－且x≠a2??? x2x＋1 x－a的定义域关于原点对称，由 ??1 ?，知a＝，故选A. 2?? 法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 又f(x)＝2， 2x＋1－2ax－a－x－x1 则2＝2在函数的定义域内恒成立，可得a＝. 2x－1－2ax－a2x＋1－2ax－a2【能力提升】 22 5．A [解析] 若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)－(－x)＋1＝x＋x＋1＝－f(x).若x>0，则－x<0， 22 ∴f(－x)＝－(－x)－(－x)－1＝－x＋x－1＝－f(x).∴f(x)为奇函数． 1 6．B [解析] 由f(x＋6)＝－＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以 fx＋3 1?11??1?又f(x)为偶函数，?1??1?f(107.5)＝f?6×18－?＝f?－?，则f?－?＝f??＝－＝－＝2?5?－10??2??2??2??f?－??2? 1. 10 1 7．A [解析] 作出函数f(x)图象的示意图如图，则原不等式等价于log2x＞或log2x< 212－，解得x>2或0 x 3 8．B [解析] f(x)＝x(x－3)(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x(x－1)(x－4)(x－9)，∴f(x)是偶函数． 2 9．－3 [解析] 法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x－x， 2 ∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)＋(－1)＝－3. 2 法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x－x， 22 ∴f(－x)＝2(－x)－(－x)＝2x＋x，又f(－x)＝－f(x)， 22 ∴f(x)＝－2x－x(x>0)，∴f(1)＝－2×1－1＝－3. 10．(－1,4) [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递 22 增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此不等式f(x－3x＋2)>f(6)?f(|x－3x＋ 2 2|)>f(6)，所以|x－3x＋2|<6，所以－1 11．－3 [解析] 由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可得，函数f(x)的图象关于原点对称， ?3??3??3??3?∴f(x)是奇函数．由f?－x?＝f?＋x?得，f?＋x?＝－f?x－?， ?4??4??4??4? ?3???3?3?∴f?x＋?＝f??x＋?＋?＝ ?2???4?4???3?3?－f??x＋?－?＝－f(x)， ??4?4? ??3?3??3?∴f(x＋3)＝f??x＋?＋?＝－f?x＋?＝f(x)，所以函数f(x)是以3为周期的函数，又 ?2???2?2? 2012＝3×670＋2，∴f(2012)＝f(2)＝－f(－2)＝－log2(6＋2)＝－3. 12．[解答] (1)设x<0，则－x>0， 22 所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 22 于是x<0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， ??a－2>－1， 结合f(x)的图象(图略)知? ?a－2≤1，? 2222 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]． 【难点突破】 ?11?13．[解答] (1)当x∈?－，?时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f(x)＝|x|，?22? ?11?x∈?－，?. ?22? 1??1 (2)当x∈?k－，k＋?(k∈Z)时，k为给定区间内的整数，故f(x)＝|x－k|，x∈ 2??2 ?k－1，k＋1?(k∈Z)． ?22??? 11 (3)对任意x∈R，函数f(x)都存在，且存在k∈Z，满足k－≤x≤k＋，f(x)＝|x－k|， 22 11?1111?由k－≤x≤k＋，得－k－≤－x≤－k＋，此时－k是区间?－k－，－k＋?内的整数，22?2222? 因此f(－x)＝|－x－(－k)|＝|－x＋k|＝|x－k|＝f(x)，即函数f(x)为偶函数． 4
