长沙理工大学备课纸
数学金融学第二章远期
第二章 远 期
§2.1 远期及其价格和价值
一、基本概念(P13)
1. 远期合约
定义1.1 甲乙双方在(目前)时刻t签订一份合约:在将来给定时刻以(当前)设定价格成交一种物品,这样一份合约称为?t,T?上的一个远期(合约) (forward(contract)).合约中成交的物品称为标的资产(underlying asset)或标的物品(underlying commodity),所设定的成交价格称为交割价格(delivery price),也称为远期价格(forward price),记为q?t,T?(只依赖于t和T).时刻T称为到期时刻(maturity).在到期时刻T将成为标的资产的买方与卖方分别称为多头(long position)与空头(short position).
例1.2 (P13) 甲乙签订了一份在3个月以后以交割价格为8.23人民币元/美元(汇率为8.23:1),标的资产为美元,其数量为10万元的买卖合约(远期).其中,甲方为买方(多头),乙方为卖方(空头).
假如在到期日,美元的价格涨到了8.30元,则甲方获利1000000×8.30－1000000×8.23= 7000(人民币,元),乙方损失为7000(人民币,元);
假如在到期日,美元的价格跌到了8.30元,则乙方获利1000000×8.23－1000000×8.20= 3000(人民币,元),甲方损失为3000(人民币,元).▲
2. 远期合约的价值
从例2.1看出,当双方敲定交割价格后,标的资产到期价格上涨对多头有利,而对空头不利; 标的资产到期价格下跌对空头有利,对多头不利.所以,多空双方如何敲定交割价格对双方损益(payoff,也称为收益或回报)至关重要.假设签约双方均是理性的(不愿意吃亏)、对称的(资产、能力等均对等),那么,得到远期价格确定原则为:
在签约时刻,远期本身的(期望)价值为0.
设P?s??s??t,T??为标的资产在时刻s处即期价格.由远期价格确定原则可知
q?t,T??P?T?, (1.3)
由于确定远期价格q?t,T?时,双方可利用的信息是到时刻t为止的所有市场信息,但没有时刻t 后的信息,那么,上述远期价格确定原则对如何确定远期价格q?t,T?不方便.于是我们需要从所谓“远期的价值”来考虑如何确定远期价格.
定义1.1.1 称
f?s;t,T????P?T??q?t,T??????P?T??q?s,T???e???r?T?s????q?s,T??q?t,T???e?r?T?s? (1.4)
为当无风险利率r为常数时,时间?t,T?上远期合约在时刻s??t,T?的价值,其中P?s??q?s,T?表示远期的多头在时刻s??t,T? 的损益.
当利率r?r?t??c(常数)时,由第一章(1.17.1)知,时间?t,T?上远期合约在时刻s??t,T?的价值为
f?s;t,T????q?s,T??q?t,T???e??sTr???d?. (1.5)
说明:
● (1.4)和(1.5)式实际含义表示: 时间?t,T?上远期合约在时刻s??t,T?的价值f?s;t,T?等
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于时间?t,T?上远期的多头的损益?即P?T??q?t,T??与时间?s,T?上远期的多头的损益?即P?T?
?q?s,T?之差的按无风险利率r(常数或非常数)贴现值;
● 时间?t,T?上远期合约在时刻s??t,T?的价值f?s;t,T?不是标的资产即期价格P?s?; ● 当标的资产价格上涨时,有q?s,T??q?t,T?,则f?s;t,T??0;当标的资产价格下跌时,有
q?s,T??q?t,T?,则f?s;t,T??0.
● 由(1.4)和(1.5)式可得,多头在s?T处价值为
f?T;t,T??P?T??q?t,T?, (1.6) 即为多头在到期时刻T的损益;多头在s?t处价值为
f?t;t,T??0, (1.7) 即时间?t,T?上远期合约的价值为0,这恰好就是远期价格确定原则.▲
下面,我们在市场无套利(套利是指人们可以通过某种方式在?t,T?内获得无本钱且无风险的利润,那么无套利是指要获得利润就得有本钱或冒风险)的基本假设下,考虑几种有用的特殊情况.
二、无收益证券(P15)
设一份时间?t,T?上远期合约中,标的资产是不支付收益的证券(例如,在时间?t,T?内不付红
利的股票、贴现债券,即到期时刻的价值的债券).又设无风险利率r为常数,且以连续复利计算投资所获得资金或贴现值.
1. 在市场无套利假设下,无收益证券的远期价格 定理1.1 假设市场无套利,则无收益证券的远期价格
q?t,T??P?t?er?T?t?. (1.8)
rT?t?证明 1) 假设q?t,T??P?t?e?,则投资者可以以无风险利率r借入P?t?,期限为T?t,用
r?T?t?于买进标的证券;同时,签订卖出标的证券的远期合约(在时刻t并无资金流动).在到期时刻T,按 合约价格卖出证券获得q?t,T?,同时连本带息归还借款P?t?eq?t,T??P?t?er?T?t?,这样他获得(无风险)利润为
?0.
r?T?t?2) 假设q?t,T??P?t?e投资所获得P?t?eP?t?er?T?t?r?T?t?,投资者可以在时刻t卖空证券获得P?t?,用于以无风险利率r投
资,期限为T?t;同时,签订买入该证券的远期合约(在时刻t并无资金流动).在到期时刻T,他用
按合约价格q?t,T?买入证券,以冲抵原空头, 这样他获得(无风险)利润为
?q?t,T??0.
所以,综合1)、2)知(1.8)在市场无套利假设下成立.▲
例1.3(P16) 假定某种股票目前价格为50元,且在未来6个月内不付红利.假定6个月期无风险年利率为5%,现在我们签订一个6个月期的以此股票为标的资产的远期合约,那么在市场无套利情况下,求该远期价格(远期合约中将来标的资产的交割价格) q?t,T?.
解 T?t?612=0.5,r?0.05,P?t??50,由(1.8)知q?t,T??50e0.05?0.5?51.27.(元).▲
2. 在市场无套利假设下,无收益证券的远期合约的价值
定理1.2 假设市场无套利,则时间?t,T?上无收益证券的远期合约在时刻s??t,T?的价值为
f?s;t,T??P?s??q?t,T?e?r?T?s? (1.9)
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证明 f?s;t,T????q?s,T??q?t,T???e?P?s??q?t,T?e(1.4)?r?T?s??1.8?r?T?s?r?T?t??e?r?T?s? ??P?s?e?P?t?e??
?r?T?s?.▲
证券组合价值相等原则相等: 如果在时间?t,T?(t为初始时刻)上的两个证券组合在到时刻T的价值相等,那么,在市场无套利条件下,这两个证券组合在时刻s??t,T?的价值也应该相等.下面我 们从这个角度出发来讨论时间?t,T?上远期合约在时刻s??t,T?的价值f?s;t,T?.
假定在(初始)时刻t??0,T?有两个重要证券组合:
组合1: 多头有一份在时间?t,T?上远期合约?f?t;t,T??0?,外加数额为q?t,T?e?r?T?t?的现金,其中q?t,T?为该远期的价格.
组合2: 价值为P?t?的一股标的证券.
讨论:
在T时刻,假定组合1中现金以无风险利率r投资,则多头将拥有资金q?t,T?,恰好可以按远 期合约购买一股标的证券(此时,市价为P?T?),故此时组合1的价值(不是远期合约的价值)为
P?T?.于是在T时刻, 组合1价值等于组合2价值(P?T?);
在任何时刻s??t,T?,组合1的价值为
｛在s时刻,远期合约的价值｝＋｛在时间?t,s?上,现金以无风险利率r投资收益｝
?f?s;t,T??r?T?t??er?s?t??f?s;t,T???q?t,T?e?r?T?s???q?t,T?e??,
组合2的价值为P?s?.在市场无套利条件下,s时刻,这两个组合的价值应该相等,即
f?s;t,T??q?t,T?e?r?T?s??P?s?.▲ (1.10)
显然, (1.10)与(1.9)是等价的.当s?t时,由f?t;t,T??0知(1.10)就可化为(1.8).
例1.4(P17) 假定一个还有9个月将到期的远期合约,标的资产是一年期的贴现债券,远期合约的交割价格为1000元.假设9个月期的无风险(连续复利)年利率为6%,债券的现价为960元.求在市场无套利条件下,在当前时刻s远期(多头)的价值.
解 T?s?f?s;t,T912=0.75,r?0.06,P?s??960, q?t,T??1000.,
?r?T?s?由(1.9)知当前时刻s,在市场无套利条件下,远期(多头)的价值
??P?s??q?t,T?e?960?1000e?0.06?0.75?4元,
从而,在当前时刻s空头的价值为?4元.▲
三、己知现金收益的证券(P17)
设一份时间?t,T?(t为初始时刻)上远期合约中,标的资产是在时间?t,T?内在n?1?n???? 个时刻有已知收益的证券(例如,在时间?t,T?内有附息的债券).又设无风险利率r为常数,且以连
续复利计算投资所获得资金或贴现值.又假定I?t?为远期合约有效期内的现金收益总额的现值(贴现率为无风险利率r).在此假定:持有标的资产者在时间?t,T?内将所有分红以无风险利率r即时投资.
1. 关于I?t?的讨论
(1) 设投资者持有的证券在时间?t,T?内的在n?n?1?个时刻s1,s2,?,sn?t?s1?s2???
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sn?T?有红利的收入分别为a1,a2,?,an,
1) 由定义知
I?t??a1e?r?s1?t??a2e?r?s2?t????ane?r?sn?t?. (1.10.1)
r???T?t???s1?t?????T?t???s2?t?????T?t???sn?t???r?2) 投资者将证券在时间?t,T?上红利的总收入以无风险利率r投资收益R?t,T?为
R?t,T??a1er(T?s1)?a2er(T?s2)???aner(T?sn)?a1e?a2e????ane,
于是由(1.10.1)知
R?t,T??I?t?er?T?t?. (1.10.2)
?I?s?. (1.10.3)
1(2) 设s??t,T?,投资者将证券在时间?t,s?上红利的总收入以无风险利率r投资收益为
R?t,s??I?t?er?s?t?事实上, 设投资者持有的证券在时间?t,T?内的在n1?n1?1?个时刻s1,s2,?,sn?t?s1?s2
???sn1?ssn1?1,sn1?2,?,sn?n12?有红利的收入分别为a,a,?,a,在时间?s,T?内的在n?n?1?个时刻?s?s?s???s?T?有红利的收入分别为a,a,?,a,则
12n122n1?1n1?2n1?n2n1?1n1?2n1?n2R?t,s??a1er?s?s1??a2e?1.10.1?r?s?s2????aners?sn?1?,
又
I?t?er?s?t??I?s?1?1??r(sn?n?t)12?ae?r(s1?t)???ae?r(sn1?t)?ae?r(sn1?1?t)???a?er?s?t? e1n1n1?1n1?n2????an1?1e??r(sn?s)???an1?n2e?r(sn1?n2?s)rs?s??a1er?s?s1??a2er?s?s2????ane?n1?=R?t,s?.
1?所以 (1.10.3)成立.▲
2. 在市场无套利假设下, 有己知现金收益证券的远期价格 定理1.3 在市场无套利条件下,
r?T?t?. (1.11) q?t,T????P?t??I?t???e类似于定理1.1可证定理1.3成立,证明见P17.
例1.5(P18) 设一个现价为100元的股票的10个月期的远期合约.又设无风险利率(连续复 利)的年利率为8%,且假定在3个月、6个月和9个月后都会有红利为每股1.5元的.求在市场无套利条件下,在初始时刻t的交割价格q?t,T?.
解 而T?s?10/12?0.866,r?0.06,P?t??960, 则, 红利的总现值为:I?t??1.5e?1.11??1.10.1??312?0.8612912?1.5e??0.8?1.5e??0.8?4.32元,
则 q?t,T???100?4.32?e0.08?0.833?102.28元.▲
3. 在市场无套利假设下,有己知现金收益证券的远期合约的价值
定理1.4 假设市场无套利,则时间?t,T?上有己知现金收益证券的远期合约在时刻s??t,T? 的价值为
f?s;t,T?＝P?s??I?s??q?t,T?e(1.4)?r?T?s?. (1.11.1)
?1.11?r?T?s??e?r?T?s? ???Ps?Ise?qt,T???????????证明 f?s;t,T????q?s,T??q?t,T???e?r?T?s?第 4 页 共 23 页
