复变函数复习重点
(一)复数的概念 1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1.
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示
1）模：
z?x2?y2；
2）幅角：在z幅角。 3）arg?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的
?z?与arctanx之间的关系如下：
?arctany； xy 当x?0, argz?y?0,argz?arctan?? 当x?0,??y?0,argz?arctan??4）三角表示：z5）指数表示：zy??xy??x；
?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。 ?zei?，其中??argz。
(二) 复数的运算 1.加减法：若z12.乘除法： 1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2?
?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1。 ???2?i222z2x2?iy2?x2?iy2??x2?iy2?x2?y2x2?y22）若z1?z1ei?1,z2?z2ei?2, 则
zz1?1ei??1??2? z2z2z1z2?z1z2ei??1??2?；
3.乘幂与方根
1） 若z2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则zn?z(cosn??isinn?)?zein?。 ?z(cos??isin?)?zei?，则
1nnnn??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??(k?0,1,2?n?1)（有n个相异的值）
（三）复变函数 1．复变函数：w?2．复初等函数 1）指数函数：ezf?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.
z?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。
注：e是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数： Lnz主值：lnz； ?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)（多值函数）
（单值函数） ?lnz?iargz。
1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?lnz???；
z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnzb(z?0)
b?1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且
?z???bz。
eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz? 2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
注：有界性
（与实函数不同） sinz?1,cosz?1不再成立；
4）
ez?e?zez?e?z,chz?双曲函数 shz?22；
shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且?shz???chz,?chz???shz。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数
1
1）点可导：
f??z0?=lim?z?0f?z0??z??f?z0?；
?z2）区域可导：
f?z?在区域内点点可导。
2．解析函数的概念 1）点解析：
f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析；
2）区域解析： 3）若
f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件 1．函数可导的充要条件：
f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?v?,?x?y?u?v?? ?y?x?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
此时， 有
f??z???u?v?i。 ?x?x2．函数解析的充要条件：
f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：
此时
f??z???u?v?i。 ?x?x注意： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。因此在
f(z)?u?iv一定是可
使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以
f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2）
f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）
2
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数
（六）复变函数积分的概念与性质
n1． 复变函数积分的概念：
?f?z?dz?lim?f????zcn??kk?1k，c是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1） 2）
?f?z?dz???ccc?1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；
cc?[?f?z???g?z?]dz???f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；
3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：
?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz。
cc1c2（常用于理论证明） ?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy；
ccc2）参数方法：设曲线c：
z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的起点，?对应曲线c的终点，则
?f?z?dz???c?f[z?t?]z?(t)dt。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1．柯西—古萨基本定理：设
f?z?在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则
??f?z?dz?0
c2．复合闭路定理： 设
f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,?cn是c内的简单闭
曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,?cn为边界的区域全含于D内，则
①
??f?z?dz????f?z?dz, 其中c与ccnk均取正向；
k?1ck②
??f?z?dz?0，其中?由c及c??1(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数
的值，只要在变形过程中c不经过使4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设
f?z?沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它
f?z?不解析的奇点。
f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则
(z1,z2?B)
3
?
z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?
