（3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示两互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的两方程表示同一平面，则：
l?3m?1n?38 ???m?3n?9l?3?16即：
?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?13377，m?，n?。
9992m3 ??l?6?6（2）欲使所给的两方程表示两平行平面，则：
所以：l??4，m?3。
（3）欲使所给的两方程表示两垂直平面，则：
7l?2?3?0 所以： l??1。 7例25、求关于直线??x?y?4z?12?0与点P(2,0,?1)对称的点。
?2x?y?2z?3?01,?1,?4???2,1,?2???6,?6,3?，或为?2,?2,1?，求直线上的一解：已知直线的方向矢量为：??x??5x?y?12?0?x?5y?7z???y?7）,从而直线方程为点（令z=0, ???
2x?y?3?02?21??z?0??过P垂直于已知直线的平面为：2(x?2)?2y?(z?1)?0，即2x?2y?z?3?0
?x?2t?5?x?5y?7z令???t??y??2t?7代入平面方程2x?2y?z?3?0解出t=
2?21?z?t?该平面与已知直线的交点为(1,1,3)，所以若令P?(x,y,z)为P的对称点，则：
1?2?x0?y?1?z，1?，3? 222? x?0,y?2,z?7， 即P?(0,2,7)。
（八）用平面束求解题；求过直线??A1x?B1y?C1z?D1?0的平面可设为
?A2x?B2y?C2z?D2?0江西科技学院公教部方玲玲编撰 29
(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0
例26、.求通过平面4x?y?3z?1?0和x?5y?z?2?0的交线且满足下列条件之一的平面：
（1）通过原点； （2）与y轴平行； （3）与平面2x?y?5z?3?0垂直。
解：（1）设所求的平面为：(4x?y?3z?1)??(x?5y?z?2)?0 欲使平面通过原点，则须：?1?2??0，即??故所求的平面方程为：
1， 22(4x?y?3z?1)?(x?5y?z?2)?0
即：9x?3y?5z?0。 （2）同（1）中所设，可求出??1。 5故所求的平面方程为：5(4x?y?3z?1)?(x?5y?z?2)?0 即：21x?14z?3?0。
（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面2x?y?5z?3?0垂直，则须：
2(4??)?(?1?5?)?5(3??)?0
从而：??3，
所以所求平面方程为：7x?14y?5?0。
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五、章节基础训练
向量及其线性运算
一、选择题
1. 点(a,b,c)关于y轴的对称点坐标为-------------------------------------------------------（ ） （A）(?a,?b,?c) （B）(?a,b,?c) （C）(?a,b,c) （D）(a,?b,c) 2. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角---------------------------------------------（ ） （A）30?,45?,60? （B）45?,60?,90? （C）60?,90?,120? （D）45?,90?,135? 3. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是：（ ） A ）5 B） 3 C） 6 D）9 4. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（ ）
A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}.
5、 已知向量PQ??4,?4,7?的终点为Q?2,?1,7?,则起点P的坐标为 （ ）；
A、??2,3,0?; B、?2,?3,0?; C、?4,?5,14?; D、??4,5,14?.
6、已知向量a??1,1,1?,则垂直与a及y轴的单位向量b? （ ）；
A、111?1,?1,1?; B、??1,1,0?; C、?1,?1,0?; D、?1,0,1?. 3227、零向量的方向（ ）；
A、是一定的； B、是任意的； C、与坐标轴间的夹角相等； D、以上结论都不对。8、单位向量的方向 （ ）；
A、必相等； B、不相等； C、不一定相等； D、向量的方向必相同。
9、两个单位向量（ ）；
A、是一定的； B、是任意的； C、与坐标轴间的夹角相等； D、以上结论都不对。
二、填空题 1．（4?）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
（2，?3，4）（2，3，?4）(1) 第____________卦限 (2) 第____________卦限 （?2，?3，4） (3) 第____________卦限 (4) 第____________卦限 （2，?3，?4）2、 已知两点A(4,0,5)与B(7,1,3)，与向量AB方向一致的单位向量a= 。
?0江西科技学院公教部方玲玲编撰 31
3、若A(1,?1,3),B(1,3,0)，则AB中点坐标为(1,1,)，|AB|? 4、若?,?,?为向量a的方向角，则cos??cos??cos?? __________
32?222sin2??sin2??sin2?? _______________ .
??5、a?(2,?3,1)与b?(4,2,?2)的位置关系_______________
.
6、已知A(?1,2,?4)，B(6,?2,t)，且|AB|?9，则（1）t=_____________； （2）线段AB的中点坐标为______________________。 7、已知点P的向径OP为单位向量，且与z轴的夹角为则点P的坐标为____________________________。
三、计算题
2、已知a?e1?2e2?e3，b?3e1?2e2?2e3，求a?b，a?b和3a?2b． 3、 设a?{2,?3,1},b?{1,?1,3},c?{1,?2,0},求(a?b)?c.
?????????，另外两个方向角相等， 6??????
5、化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)．
6、已知向量a与各坐标轴成相等的锐角，若|a|?23，求a的坐标。
7、试证明以三点A（4,1,9）、B（10，-1,6）、C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形。
数量积、向量积、混合积
一、选择题
???????1、 设a?i?k,b?2i?3j?k,求a?b是：（ ）
A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k
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