妙用“插板法”，突破行测瓶颈——排列组合数学题
华图教育集团 唐颖
在公务员考试的行政职业能力测验中，数学运算一直都是提高分数的重中之重。而数学运算中许多问题都有一定的难度，使一些考生望而却步。下面讨论的排列组合问题就是难点之一。当然，万变不离其宗，掌握问题本质，再难的问题都可以迎刃而解。为帮助考生掌握快速答题技巧，唐颖老师结合多年辅导经验，向考生们介绍一个非常有效的解决排列组合问题的方法——插板法。
插板法用于解决“相同”元素的分组问题，且要求每组至少一个元素。 我们先来看下面一道题目：
【例题1】将6个相同的小球分到3个不同的箱子里去，要求每个箱子至少有1个小球，有多少种不同分法？
解析：首先，我们想象3个不同的箱子，这些箱子之间存在2个间隔。那么，我们可以反过来思考，将这2个间隔看成2个抽象的“隔板”。容易想象：插入2个“隔板”，将隔离出3个区域（相当于箱子）。
然后，我们将6个相同的小球排成一行，如了5个空隙。
最后，再将2个“隔板”插到5个空隙中，就把这6个小球隔成了3个不同的区域，相当于分配到3个不同的箱子。 故总共有C5?
我们从例题1的分析过程中可以归纳出如下“插板法”核心要素：
【核心问题】将m个相同的元素，分到不同的n组中，要求每组中至少有一个元素，有多少种不同分法？
【核心思路】m个相同的元素有（m-1）个空隙，n组之间相当于有（n-1）个“隔板”，把（n-1）个“隔板”插到（m-1）个空隙中，有多少种分配方法，即为所求的分配方法种数。这种借助抽象的“隔板”来考虑分配元素的方法被称为“插板法”，它是解决相同物品分配问题的重要思路。
2，这6个相同的小球之间出现
5?4?10种分法。 2 1
n?1【核心公式】共有Cm?1种分配方法。
【例题2】将16个相同的彩球放到3个不同的箱子里去，要求每个箱子至少放1个，请问有多少种不同的方法？
解析：3个不同的箱子之间有2个“隔板”，16个相同的彩球之间有15个空隙，故分法共有
2C15?15?14?105种。 2
【例题3】将12个奖学金名额分配到6个班级中，要求每个班级至少分到1个名额，问有几种分法？
解析：奖学金名额是相同的，班级是不同的。6个不同的班级之间有5个“隔板”，12个奖学金名额之间有11个空隙，故分法共有C11?
【“插板法”的适用范围】
使用插板法来解决相同元素分配到不同组的问题非常简便，但这类问题适用插板法的前提相当严格，必须同时满足三个条件，缺一不可： 一、需要分配的元素完全相同；
二、接受元素的组合是不同的，且分配过程中将所有元素都分配完毕，没有剩余； 三、每个组合至少分配1个，不可以有任何一组分不到元素。
由于有了这样的条件限制，对于很多的问题，不能直接套用插板法解决。但是我们可以通过条件的转化，使其符合上述三个条件，这样就可以直接使用插板法解决，大大加快了解题速度。
【核心题型变式一】
题型阐释：有m个相同的元素，分到n个不同的组合，要求各组中分到的元素至少为确定值a（a≥1，且各组a值可以不同），问有多少种不同分法？
解题思路：这种问题要求组中分到的元素不能少于某个确定值a，各组分到的并非至少一个。 对于这样的题，我们就首先将各组都先放入（a-1）个，然后再通过插板法，保证每组中至少分配1个，就满足了各组至少n个的要求。 图解如下：
2
511?10?9?8?7?462种。
5?4?3?2
要求 至少a1 至少a2 至少a3 先放入 a1-1 a2-1 a3-1 插板法 至少+1 至少+1 至少+1 放完后 ≥a1 ≥a2 ≥a3
【例题4】10个相同的球放入编号分别为1、2、3的盒子中，盒中的球数不小于编号数，有多少种不同分法？
解析：先将每个盒子中放入0、1、2个球，此时还剩7个球待分配，且每个盒子至少放1个球，转化为核心模型问题，直接套用核心公式，共有C6?
【核心题型变式二】
题型阐释：将m个相同的元素，分到n个不同的组中，有多少种不同的分法？ 解题思路：这种问题允许一些组中分到的元素为0，不满足至少分1个的要求。
对于这样的题，我们借鉴变式一的思路，首先将每组都先放进-1个（也就相当于不仅没有放进组中，反而从每组中借出1个，n组中就借出了n个），这样需要分配的元素个数就转化成（m+n）个，每组需要至少放进1个，可以通过插板法解题。 图解如下：
要求 至少0 至少0 至少0 先放入 -1 -1 -1 插板法 至少+1 至少+1 至少+1 放完后 ≥0 ≥0 ≥0
【例题5】将9个相同的球放到3个不同的盒子里，共有多少种不同的方法？ A.55 B.28 C.81 D.729
解析：这道题很多同学容易错选B，错误的原因是直接套用“插板法”核心公式，忽略了题中并没有关键条件：“每个盒子至少放1个球”。
但是，此题只需要稍作转化，即可套用“插板法”核心思路与公式。
同前面的分析一样，我们可以先从每个盒子里借出1个球，3个盒子共借出3个球，题目转化为：将9+3=12个球放到3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球。
3
26?5?15种分法。 2
此时，这题就属于核心模型问题——“m个相同物品分配到n个不同的组合中，每组至少放1个”，直接套用核心公式，共有C11?
【练习】（2010年国考真题）某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ） A.7 B.9 C.10 D.12
（解析：至少放a=9≥1，属于变式一，先放入a-1=8个，三个部门放入24份，还剩下6份，分给3个不同的部门，将6份相同的材料分给3个不同的部门，每个部门至少发放1份，套用核心公式，共有C5?
2211?10?55种分法。 25?4?10种，答案选C。） 2 4
