圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：
模型一：“手电筒”模型
例题、已知椭圆C：
x2y2??143若直线l：y?kx?m与椭圆C
相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为
直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。
y?kx?m解：设A(x,y),B(x,y)，由?得?3x?4y?121122?22(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，
2??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?08mkx1?x2??,x1?x23?4k2，3?4k4(m?3)? 3?4k222?m2?0
D(2,0),3(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?3?4k22QkAD?kBD以AB为直径的圆过椭圆的右顶点??1， yy????1，yy?xx?2(x?x)?4?0， x?2x?212121212且
13(m2?4k)4(m2?3)16mk???4?02223?4k3?4k3?4k22，
12整理得：7m2?16mk?4k2?0，解得：m??2k,m??2k7，且满足
3?4k2?m2?0
当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
22)，直线过定点(,0) 当m??27k时，l:y?k(x?77
2,0). 综上可知，直线l过定点，定点坐标为(7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例
子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交
(a?b)y(a?b),)。圆锥曲线于AB，则AB必过定点(xa（参考?ba?b2222002222百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性
质”）
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：
k?k?只要任意一个限定AP与BP条件（如k?k?定值，
定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。
此模型解题步骤：
Step1：设AB直线y?kx?m，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围；
Step2：由AP与BP关系（如k?k??1），得一次函数k?f(m)或者m?f(k)；
Step3：将k?f(m)或者m?f(k)代入y?kx?m，得y?k(x?x)?y。
◆类型题训练
练习1：过抛物线M:y?2px上一点P（1,2）作倾斜
APBPAPBPAPBP定定2
角互补的直线PA与PB，交M于A、B两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
练习2：过抛物线M:y?4x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。
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